[论文解读] Completeness for Two Left-Sequential Logics

Daan J. C. Staudt|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2012

Logic, programming, and type systems参考文献 6被引用 3

一句话总结

本论文为两种左序逻辑——完全求值左序逻辑（FFEL）与自由短路逻辑（FSCL）——提供了完备性证明，采用求值树作为语义模型。论文为这两种逻辑建立了 sound 且 complete 的公理化系统，表明 FFEL 是 FSCL 的子逻辑，且 FSCL 可通过等式逻辑进行公理化，从而为编程语言中具有副作用的、从左到右求值的命题项提供了形式化基础。

ABSTRACT

Left-sequential logics provide a means for reasoning about (closed) propositional terms with atomic propositions that may have side effects and that are evaluated sequentially from left to right. Such propositional terms are commonly used in programming languages to direct the flow of a program. In this thesis we explore two such left-sequential logics. First we discuss Fully Evaluated Left-Sequential Logic, which employs a full evaluation strategy, i.e., to evaluate a term every one of its atomic propositions is evaluated causing its possible side effects to occur. We then turn to Short-Circuit (Left-Sequential) Logic as presented in [BP10b], where the evaluation may be 'short-circuited', thus preventing some, if not all, of the atomic propositions in a term being evaluated. We propose evaluation trees as a natural semantics for both logics and provide axiomatizations for the least identifying variant of each. From this, we define a logic with connectives that prescribe a full evaluation strategy as well as connectives that prescribe a short-circuit evaluation strategy.

研究动机与目标

• 形式化并证明完全求值左序逻辑（FFEL）的完备性，该逻辑模拟具有副作用的命题项的完全从左到右求值。
• 为 FFEL 和 FSCL 基于求值树构建语义模型，以精确刻画具有状态变化的顺序求值行为。
• 为自由短路逻辑（FSCL）建立完整的等式公理化系统，捕捉编程构造中短路求值的行为。
• 证明 FFEL 是 FSCL 的子逻辑，表明完全求值是短路求值的一个特例。
• 将这两种逻辑与命题代数联系起来，阐明其与经典命题逻辑及程序语义学的关联。

提出的方法

• 引入求值树作为 FFEL 和 FSCL 的语义模型，其中内部节点表示连接词，叶节点表示带可能副作用的原子命题。
• 定义 FFEL 和 FSCL 项的正规形式，以实现对项结构与求值行为的系统分析。
• 提出从求值树到逻辑项的映射函数 $ g^* $，证明其正确性与满射性，以建立完备性。
• 通过项复杂度的归纳法，证明求值树语义能完全捕捉在完全求值与短路求值下项的真值。
• 应用 'cd'（条件析取）与 'dd'（析取性析取）概念，对复杂项进行分解，并分析其求值路径。
• 基于求值树语义，证明 FSCL 的等式公理化系统（EqFSCL）是 sound 且 complete 的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于求值树语义，为完全求值左序逻辑（FFEL）建立一个完整且 sound 的公理化系统？
• RQ2 如何利用基于求值树的语义，形式化捕捉编程构造中短路求值的行为？
• RQ3 自由短路逻辑（FSCL）能否以一种方式公理化，使其等式理论在短路求值下被完全捕捉？
• RQ4 FFEL 与 FSCL 之间存在何种逻辑关系？FFEL 是否可被嵌入为 FSCL 的子逻辑？
• RQ5 这些逻辑如何与命题代数相关联？尤其在副作用与求值顺序的背景下，它们与经典命题逻辑有何联系？

主要发现

• 求值树语义正确捕捉了 FFEL 与 FSCL 的行为，为具有副作用的左序求值提供了 sound 且 complete 的模型。
• 通过等式理论 EqFSCL 建立了 FSCL 的完整且 sound 的公理化系统，表明所有项之间的有效等式均可从公理中推导出。
• 映射 $ g^* $ 从求值树到项被证明是正确且满射的，从而证明在该语义下每个项均对应唯一的求值树。
• FFEL 被形式化证明为 FSCL 的子逻辑，即所有在 FFEL 中有效的等式在 FSCL 中也成立，但反之不成立，原因在于短路机制。
• 通过项的正规形式与树结构，基于项复杂度的归纳法，证明了 FFEL 公理化系统的完备性，验证了所有有效等式均可被推导。
• 本文表明，完全求值与短路求值之间的区别在逻辑上具有重要意义，由于副作用与求值顺序的存在，合取与析取的交换律在两种逻辑中均不成立。