[论文解读] Completing orientations of partially oriented graphs

Joergen Bang-Jensen, Jing Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文引入了方向补全问题，即判断一个部分定向图能否通过定向其无向边，被补全为指定类别的定向图。研究证明，该问题在局部竞赛图和无环局部竞赛图类中为多项式时间可解，但在局部传递局部竞赛图类中为 NP-完全——这一结果推广并扩展了关于区间图与环状弧图表示扩展问题的已知结果。

ABSTRACT

We initiate a general study of what we call orientation completion problems. For a fixed class C of oriented graphs, the orientation completion problem asks whether a given partially oriented graph P can be completed to an oriented graph in C by orienting the (non-oriented) edges in P. Orien- tation completion problems commonly generalize several existing problems including recognition of certain classes of graphs and digraphs as well as extending representations of certain geometrically representable graphs. We study orientation completion problems for various classes of oriented graphs, including k-arc- strong oriented graphs, k-strong oriented graphs, quasi-transitive oriented graphs, local tournament, acyclic local tournaments, locally transitive tournaments, locally transitive local tournaments, in- tournaments, and oriented graphs which have directed cycle factors. We show that the orientation completion problem for each of these classes is either polynomial time solvable or NP-complete. We also show that some of the NP-complete problems become polynomial time solvable when the input oriented graphs satisfy certain extra conditions. Our results imply that the representation extension problems for proper interval graphs and for proper circular arc graphs are polynomial time solvable, which generalize a previous result.

研究动机与目标

• 启动对方向补全问题的系统研究，即通过定向无向边，将部分定向图补全为指定类别的定向图。
• 推广现有问题，如可比图的识别、强有向图的识别，以及几何可表示图的表示扩展问题。
• 确定关键图类（包括 k-弧强、k-强、拟传递、局部竞赛图和入竞赛图）的方向补全问题的计算复杂度。
• 探讨结构约束（如友好部分定向）对复杂度的影响，特别是对局部传递局部竞赛图的影响。
• 通过将已知的关于区间图与恰当环状弧图表示扩展结果与方向补全问题关联，实现其推广。

提出的方法

• 将方向补全问题形式化为判定问题：给定一个部分定向图（pog），其无向边是否可被定向，以得到目标类 C 中的一个有向图？
• 使用归约和结构图论分析复杂度，包括将入竞赛图问题归约为 2-SAT，以及将问题归约为已知的 NP-完全问题（如有向圈因子检测）。
• 应用 Gallai 的可比图分解方案，以及图中 k-链接问题的已知算法，推导出特定情况下的多项式时间可解性。
• 利用已知刻画结果，例如弦图为无环入竞赛图，恰当环状弧图为连通局部传递局部竞赛图的底图。
• 对固定的 k 使用 Robertson-Seymour 链接算法，求解当输入为图时的无环 π-链接补全问题。
• 定义并分析结构性质，如‘友好’部分定向和循环序（良好与优秀），以探索复杂度边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些类型的定向图类，方向补全问题为多项式时间可解或 NP-完全？
• RQ2 能否将恰当区间图表示扩展问题推广，并通过无环局部竞赛图中的方向补全问题求解？
• RQ3 若将输入限制为友好部分定向，是否能使局部传递局部竞赛图方向补全问题变为多项式时间可解？
• RQ4 当 k 固定时，无环方向的 π-链接补全问题的复杂度如何？
• RQ5 所有具有良好循环序的定向图是否也具有优秀循环序？这对循环序问题的复杂度有何影响？

主要发现

• 方向补全问题在局部竞赛图类中为多项式时间可解。
• 方向补全问题在无环局部竞赛图类中为多项式时间可解，推广了已知的恰当区间图表示扩展问题的多项式可解性结果。
• 方向补全问题在局部传递局部竞赛图类中为 NP-完全，且即使在局部传递竞赛图（完全图）的情况下，该问题仍为 NP-完全。
• 当限制为友好部分定向时，局部传递局部竞赛图的方向补全问题变为多项式时间可解。
• 入竞赛图的方向补全问题为多项式时间可解，且可通过归约为 2-SAT 求解。
• 有向圈因子的方向补全问题为 NP-完全，即使输入为部分定向图，该结论依然成立。