[论文解读] Completion process and quasi-convex subgroups

Olga Kharlampovich, Alexei Myasnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文提出了一种有效方法，用于计算自动群（如双曲群或右角Artin群）中有限生成拟凸子群的图形表示。该表示可解决关键算法问题——如子群交集、有限性、共轭性、有限指数及几乎异常性——尽管基于群的自动结构和子群生成元，其计算过程不存在可计算的时间界。

ABSTRACT

We show how to effectively compute a graphical representation for a finitely generated quasi-convex subgroup H of an automatic group G (e.g. a hyperbolic group, a right-angled Artin group etc.). Such repre-sentations, which are well-known for subgroups of free groups but also in a number of other situations (e.g. subgroups of amalgamated products of finite groups [Markus-Epstein, 2007] or of virtually free groups [Silva, Soler-Escriva, Ventura, 2011]), can be used to solve algorithmic problems such as computing the intersection of finitely generated subgroups or de-ciding finiteness, and under appropriate hypotheses, to decide whether two subgroups are conjugated, or whether a subgroup has finite index or it is almost malnormal. We also discuss the complexity of computation of this graphical repre-sentation: there is no computable bound on the time required to compute it, given the automatic structure of G and a set of words generating H;

研究动机与目标

• 开发一种有效算法，用于计算自动群内有限生成拟凸子群的图形表示。
• 将自由群及其他特殊情况下的已知方法扩展至更广泛的群类，包括双曲群和右角Artin群。
• 利用计算出的图形表示实现对基本子群问题的算法求解。
• 分析表示过程的计算复杂度，特别是其不存在可计算时间界这一特性。

提出的方法

• 利用环境群 G 的自动结构，构建表示子群 H 的有限状态自动机。
• 利用 H 的拟凸性，确保图形表示是有限且可有效计算的。
• 将自由群和拟自由群中子群算法的已知技术应用于更广泛的自动群类。
• 运用词双曲群和自动群理论，在构造过程中保持几何与算法的控制。
• 依赖于从自动结构导出的 H 在 G 中的正则代表语言的存在性。
• 将现有的子群交集与共轭算法整合到图形表示的框架中。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在自动群中有效计算出拟凸子群的图形表示？
• RQ2 如何利用此类表示求解子群交集或有限性等算法问题？
• RQ3 是否存在从自动结构和子群生成元计算图形表示的可计算时间界？
• RQ4 在何种条件下，该表示可判定子群的共轭性或有限指数？
• RQ5 该方法能否超越自由群，推广至包括双曲群和右角Artin群在内的更广群类？

主要发现

• 利用群的自动结构，可有效计算出自动群中有限生成拟凸子群的图形表示。
• 该图形表示可实现对子群交集计算及有限性判定等算法问题的求解。
• 在适当假设下，可通过该表示判定共轭性与有限指数问题。
• 当满足必要条件时，可利用该表示确定子群的几乎异常性。
• 即使提供了自动结构和生成词，计算图形表示所需时间也不存在可计算的上界。