[论文解读] Complex actions and causality violations: Applications to Lorentzian quantum cosmology

Seth K. Asante, Bianca Dittrich+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

本文通过展示通过皮卡德-莱夫谢茨理论导出的复化作用量，唯一地确定了因果性破坏配置是否被抑制或增强，从而解决了洛伦兹规范相对论重力路径积分中的模糊性。它表明，两种经典洛伦兹作用量之间的选择在物理上无关紧要，因为它们的解析延拓是等价的，并且通过 contour 变形自然地抑制了离散 de Sitter 时空的无边界波函数中的‘小帽’类因果性破坏几何结构。

ABSTRACT

For the construction of the Lorentzian path integral for gravity one faces two main questions: Firstly, what configurations to include, in particular whether to allow Lorentzian metrics that violate causality conditions. And secondly, how to evaluate a highly oscillatory path integral over unbounded domains. Relying on Picard-Lefschetz theory to address the second question for discrete Regge gravity, we will illustrate that it can also answer the first question. To this end we will define the Regge action for complexified variables and study its analytical continuation. Although there have been previously two different versions defined for the Lorentzian Regge action, we will show that the complex action is unique. More precisely, starting from the different definitions for the action one arrives at equivalent analytical extensions. The difference between the two Lorentzian versions is only realized along branch cuts which arise for a certain class of causality violating configurations. As an application we discuss the path integral describing a finite evolution step of the discretized deSitter universe. We will in particular consider an evolution from vanishing to finite scale factor, for which the path integral defines the no-boundary wave function.

研究动机与目标

• 解决在离散量子引力中，因果性破坏配置的洛伦兹规范相对论作用量定义中的模糊性。
• 应对在量子引力中对无界区域上高度振荡的洛伦兹路径积分进行计算的挑战。
• 确定因果性破坏几何结构（如小帽和长裤构型）在路径积分表述中应被抑制还是增强。
• 表明皮卡德-莱夫谢茨理论为洛伦兹量子宇宙学中的 contour 变形和因果结构选择提供了统一的框架。

提出的方法

• 作者通过解析延拓定义了一个复化相对论作用量，表明此前两个不同的洛伦兹定义会产生等价的解析延拓。
• 他们应用皮卡德-莱夫谢茨理论，将积分路径变形至复平面，将高度振荡的被积函数转化为快速衰减的形式。
• 该方法涉及在复化作用量中识别分支点和分支切割，特别是针对 $ r_h > s_l/8 $ 的构型，并分析这些奇点周围的单值性。
• 在离散 de Sitter 时空的一个有限演化步长上计算路径积分，重点研究从零尺度因子到有限尺度因子的无边界波函数。
• 通过作用量指数中多值对数项的解析延拓实现，参数化为整数环绕数 $ m, n, k $，这些数使相位贡献增加 $ \pi $ 的整数倍。
• 该框架被应用于球体和壳层模型，给出了复化作用量中块、边界和体积贡献的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过复平面上的解析延拓，将洛伦兹规范相对论作用量的两种不同定义统一？
• RQ2 皮卡德-莱夫谢茨理论是否为离散引力中洛伦兹路径积分的计算提供了统一且唯一的处方？
• RQ3 当使用复化作用量时，因果性破坏构型（如小帽几何）是否在路径积分中自然被抑制？
• RQ4 contour 变形的选择如何影响无边界波函数中因果性破坏与因果性良好几何结构的相对权重？
• RQ5 复化作用量框架能否解决在‘长裤’或‘小帽’构型中，哪一种被增强或抑制的模糊性？

主要发现

• 复化相对论作用量是唯一的：两种经典洛伦兹定义均导出等价的解析延拓，从而消除了作用量定义中的先前模糊性。
• 对于 $ r_h > s_l/8 $ 的因果性破坏构型，复化作用量中引入了分支切割，围绕这些切割的单值性导致作用量指数中相位产生 $ \pi $ 的整数倍偏移。
• 对于类似小帽的构型，皮卡德-莱夫谢茨 contour 变形导致路径积分振幅被抑制，因为作用量的虚部引起指数衰减。
• 在离散 de Sitter 时空的一个有限演化步长中，无边界波函数通过此复化框架被一致定义，因果性破坏几何结构被抑制。
• 该框架自然抑制具有多个光锥的构型（如长裤类），并增强因果性良好的构型，与物理预期一致。
• 作用量的解析结构，包括多值分支的对数项，完全由几何决定，并在 contour 变形后产生物理上一致的振幅。