[论文解读] Complex-analytic Neron models for arbitrary families of intermediate Jacobians

Christian Schnell|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 7

一句话总结

该论文利用滤化D-模与混合Hodge模，为任意族中间雅可比簇（与权重−1的极化Hodge结构变化相关）构建了一个复解析Néron模型。该模型可全纯延拓可接受的正规函数，其水平截面恰好对应于无奇点的正规函数，并在无需法向交叉除数或单峰单值性的情况下，为Green-Griffiths零点集猜想提供了新证明。

ABSTRACT

Given a family of intermediate Jacobians (for a polarized variation of Hodge structure of weight -1) on a Zariski-open subset of a complex manifold, we construct an analytic space that naturally extends the family. Its two main properties are: (a) the horizontal and holomorphic sections are precisely the admissible normal functions without singularities; (b) the graph of any admissible normal function has an analytic closure inside our space. As a consequence, we obtain a new proof for the zero locus conjecture of M. Green and P. Griffiths. The construction uses filtered D-modules and M. Saito's theory of mixed Hodge modules; it is functorial, and does not require normal crossing or unipotent monodromy assumptions.

研究动机与目标

• 为复流形上任意族中间雅可比簇的Néron模型构造问题提供解决，此问题由P. Griffiths提出。
• 即使在无法向交叉除数或单峰单值性的情况下，也将可接受的正规函数全纯延拓为Néron模型的截面。
• 提供Green-Griffiths零点集猜想的新证明，表明可接受正规函数的零点集是代数的。
• 构造具有挠性奇点的正规函数的解析Néron模型，并证明其在解析范畴中的最大性。
• 建立一个函子性且几何自然的构造，避免使用奇点解析化与单值性约化技术。

提出的方法

• 利用M. Saito的混合Hodge模与滤化D-模理论，将Néron模型构造为复解析空间。
• 将Néron模型定义为Hodge丛的Deligne扩张的某些截面空间，模去整格截面的商。
• 运用幂零轨道与混合幂零轨道理论，描述奇异点上的纤维结构。
• 应用水平性的概念，将Néron模型的全纯截面与无奇点的可接受正规函数对应起来。
• 通过在解析空间中闭包正规函数的图像，证明该模型捕捉了所有可接受的扩张。
• 证明该构造是函子性的，且不依赖于奇点解析化或单值性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设法向交叉除数或单峰单值性的情况下，为任意族中间雅可比簇构造复解析Néron模型？
• RQ2 无奇点的可接受正规函数是否恰好对应于Néron模型的水平且全纯截面？
• RQ3 任何可接受正规函数的图像是否可在Néron模型中实现解析闭包？
• RQ4 Néron模型是否为Hausdorff空间？其在解析范畴中存在性的拓扑障碍是什么？
• RQ5 能否利用此解析Néron模型构造，重新证明Green-Griffiths零点集猜想？

主要发现

• 所构造的解析空间 $\bar{J}(\text{H})$ 作为中间雅可比簇的Néron模型，其水平且全纯截面恰好对应于无奇点的可接受正规函数。
• 任何可接受正规函数的图像在 $\bar{J}(\text{H})$ 内具有解析闭包，确认了该模型对这类扩张的普遍性。
• 该构造是函子性的，且无需奇点解析化或单峰单值性约化，使其适用于一般情形。
• 该构造为Green-Griffiths零点集猜想提供了新证明，表明可接受正规函数的零点集是代数的。
• 在奇异点上的纤维可为正维数的复李群（例如 $\bC^*$ 或 $\bC$），表明Néron模型在一般情况下不可能是Hausdorff的。
• 例子表明，对于具有非挠性奇点的正规函数，原点上的纤维可为一维，暗示此类情况下不存在Hausdorff的解析Néron模型。