[论文解读] A generalization of the Neron models of Green, Griffiths and Kerr

Brosnan, Patrick, Pearlstein, Gregory+1 more|ArXiv.org|Sep 30, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文利用混合霍奇模理论，将极小霍奇结构（极小霍奇结构）的中间雅可比簇的内朗模型推广至负权重情形。该研究在基空间的任意部分紧化上构造了一个拓扑群，其可延拓适定的正规函数，并在每个层面上实现为复李群的分层结构，其离散商群与积分局部系统前推的关联密切相关。

ABSTRACT

We generalize a construction of the Neron model for a family of intermediate Jacobians due to Green, Griffiths and Kerr by using the theory of mixed Hodge modules. It is a topological group defined over any partial compactification of the base space, and it `graphs' admissible normal functions. Moreover, there is a stratification of the partial compactification such that the restriction over each stratum is a complex Lie group over the stratum.

研究动机与目标

• 将格林、格里菲斯与柯尔关于曲线情形的研究成果推广至更高维基空间，实现中间雅可比簇内朗模型构造的拓展。
• 在基空间的任意部分紧化上定义一个典范的内朗模型，保持适定正规函数的延拓性质。
• 利用混合霍奇模理论，构建一个尊重变体的霍奇理论与单值性数据的拓扑群结构。
• 建立紧化空间的分层结构，使得内朗模型在每个层面上限制为复李群。
• 通过一个包含连通部分与离散商群的短正合列，阐明内朗模型的结构。

提出的方法

• 将内朗模型构造为霍奇丛的德利涅延拓对积分局部系统前推的商。
• 利用混合霍奇模理论，确保在紧化过程中霍奇滤子与单值性作用的相容性。
• 通过在惠特尼分层的开子集上进行粘合来定义内朗模型，利用正规函数在每个层面上的上同调不变量的不变性。
• 利用上同调不变量 γs(ν) 在每个层面上局部常值的性质，确保截面粘合的良定义性。
• 将内朗模型构造为与适定正规函数相关的图型分量的并集，当不变量一致时具有典范同构。
• 证明商群 G 局部同胚于基空间，并与 R¹j⁎LZ 的埃莱特空间中的一个开子集相等同，且 Gs 嵌入于前推的截面中。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过霍奇理论方法，将中间雅可比簇的内朗模型构造从曲线情形推广至更高维基空间？
• RQ2 如何在基空间的部分紧化上，系统地通过一个拓扑群编码适定正规函数的延拓？
• RQ3 在分层紧化下，内朗模型的精确结构为何，特别是其分解为连通李群部分与离散商群的结构？
• RQ4 正规函数的上同调不变量 γs(ν) 在各层之间如何行为，其如何控制内朗模型分量的粘合？
• RQ5 离散商群 G 在多大程度上是局部平凡或豪斯多夫的，其与霍奇结构的中间扩张有何关系？

主要发现

• 内朗模型 J̄S(H) 是在部分紧化 S̄ 上的拓扑群，其延拓了 S 上中间雅可比簇族。
• S 上任意适定正规函数 ν 唯一延拓为 J̄S(H) 上关于惠特尼分层各层面的连续截面，且在每个层面上全纯。
• 内朗模型满足短正合列 0 → J̄S(H)⁰ → J̄S(H) → G → 0，其中 J̄S(H)⁰ 是每个层面上具有连通纤维的复李群。
• 商群 G 是 S̄ 上的拓扑群，局部同胚于 S̄，且对每个 s ∈ S̄，Gs 是 (R¹j⁎LZ)s 的子群。
• 群 G 与 R¹j⁎LZ 关联的埃莱特空间中的一个开子集相等同，其截面 Gs 由适定正规函数在上同调不变量映射下的像所决定。
• 在纯权重 -1 情形下，存在典范包含 Gs ⊗ Q ↪ HomMHS(Q, H¹is⁎j!⁎H_Q)，在附加条件（如单值性幂零或阿贝尔簇族）下该映射为满射。