[论文解读] Complex bounds for critical circle maps

Michael Yampolsky|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 1995

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文将此前针对实二次映射建立的复先验界推广至具有无理旋转数的所有临界圆周映射，运用复动力系统技术。关键成果是证明了重整化具有压缩性质，从而推出相关 Julia 集的局部连通性。

ABSTRACT

We use the methods developed with M. Lyubich for proving complex bounds for real quadratics to extend E. De Faria's complex a priori bounds to all critical circle maps with an irrational rotation number. The contracting property for renormalizations of critical circle maps follows. In the Appendix we give an application of the complex bounds for proving local connectivity of some Julia sets.

研究动机与目标

• 将最初为实二次映射开发的复先验界推广至具有无理旋转数的临界圆周映射。
• 建立临界圆周映射重整化的压缩性质，这是理解其普遍行为的关键步骤。
• 将 Lyubich 和 Yampolsky 的动力技术扩展至具有临界点的圆周映射情形。
• 为证明临界圆周映射背景下 Julia 集的局部连通性提供基础。
• 应用复先验界以解决此类映射极限集结构方面长期存在的问题。

提出的方法

• 将与 M. Lyubich 共同为实二次映射开发的复先验界方法，适配至临界圆周映射的框架。
• 利用全纯运动和拟共形延拓来控制重整化映射的几何结构。
• 应用复域中的重整化理论，分析临界圆周映射的普遍行为。
• 运用全息运动的概念，将动力性质扩展至参数空间。
• 依赖于通过复先验界建立的重整化普遍极限的存在性。
• 通过拟共形共轭和极限映射的应用，将结果应用于 Julia 集的动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 复先验界能否从实二次映射推广至具有无理旋转数的临界圆周映射？
• RQ2 临界圆周映射的重整化在复域中是否表现出压缩行为？
• RQ3 复先验界对临界圆周映射普遍性质的动力学意义是什么？
• RQ4 复先验界在此背景下如何促进 Julia 集的局部连通性？
• RQ5 用于实二次映射的技术在多大程度上可被适配至圆周映射情形？

主要发现

• 复先验界已成功推广至所有具有无理旋转数的临界圆周映射。
• 作为复先验界的推论，临界圆周映射重整化的压缩性质得以确立。
• 此类映射重整化的普遍极限在复域中表现良好。
• 该方法为证明与临界圆周映射相关的 Julia 集的局部连通性提供了框架。
• 结果证实了临界圆周映射在重整化下的普遍性与刚性。
• 附录表明，复先验界可通过拟共形共轭用于证明某些 Julia 集的局部连通性。