[论文解读] Complex Chern--Simons bundles in the relative setting

Dennis Eriksson, Gerard Freixas i Montplet+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2021

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文在一族黎曼曲面的相对设定下，引入了复的Chern–Simons丛，采用受Deligne–Elkik与Bott–Chern类启发的函子性交集理论。它确立了该丛的晶体性质，证明其曲率等于Atiyah–Bott–Goldman形式，并解决了两个重要猜想：关于Bergman与Bers投影结构之间的比较，以及关于Cappell–Miller torsion的Riemann–Roch公式。

ABSTRACT

Complex Chern-Simons bundles are line bundles with connection, originating in the study of quantization of moduli spaces of flat connections with complex gauge groups. In this paper we introduce and study these bundles in the families setting. The central object is a functorial direct image of characteristic classes of vector bundles with connections, for which we develop a formalism. Our strategy elaborates on Deligne-Elkik's intersection bundles, and a refined Chern-Simons theory which parallels the use of Bott-Chern classes in Arakelov geometry. In the context of moduli spaces, we are confronted with flat relative connections on families of Riemann surfaces. To be able to rely on the functorial approach, we prove canonical extension results to global connections, inspired by the deformation theory of harmonic maps in non-abelian Hodge theory. The relative complex Chern-Simons bundle $\mathcal{L}_{CS}$ is then defined as a functorial direct image of the second Chern class on the relative moduli space of flat vector bundles. We establish the crystalline nature of $\mathcal{L}_{CS}$, and the existence of a holomorphic extension of natural metrics from Arakelov geometry. The curvature of $\mathcal{L}_{CS}$ can be expressed in terms of the Atiyah-Bott-Goldman form, in agreement with the classical topological approach. To highlight a few applications, we first mention a characterization of projective structures of Riemann surfaces in terms of connections on intersection bundles. In particular, we settle a conjecture of Bertola-Korotkin-Norton on the comparison between the Bergman and the Bers projective structures. This is the problem of determining the accessory parameters of quasi-Fuchsian uniformizations. A conjecture of Cappell-Miller is also established, to the effect that their holomorphic torsion satisfies a Riemann-Roch formula.

研究动机与目标

• 在紧黎曼曲面族的相对设定下，发展复Chern–Simons丛的函子性形式化。
• 解决Bertola–Korotkin–Norton关于Bergman与Bers投影结构之间关系的猜想。
• 建立Cappell–Miller全纯torsion的Riemann–Roch公式，扩展Deligne的Riemann–Roch等距同构。
• 通过Chern–Simons变换，利用交集丛上的联络，提供投影结构的新表征。
• 证明平坦相对联络的典范延拓，使非交换Hodge理论中的全局度量与曲率分析成为可能。

提出的方法

• 将Deligne–Elkik的交集丛形式化应用于相对平坦丛模空间，构造第二陈类的函子性直接像。
• 利用Bott–Chern类发展精细Chern–Simons理论，以处理Arakelov几何中的次序不变量。
• 引入Chern–Simons变换作为核，将投影结构族映射到Deligne配对上的联络。
• 应用调和映射的形变理论，证明平坦相对联络可典范延拓为全局联络。
• 利用曲面族上$ SL_r(bC)$-平坦丛的普遍模空间，定义相对复Chern–Simons丛$ L_{ m CS}$。
• 建立度量的全纯延拓，并通过横越类证明$ L_{ m CS}$的曲率与Atiyah–Bott–Goldman形式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一族黎曼曲面的函子性、相对设定下定义复Chern–Simons丛？
• RQ2 Bergman与Bers投影结构之间存在何种关系？能否通过Chern–Simons理论加以表征？
• RQ3 Cappell–Miller全息torsion是否满足Riemann–Roch公式？若然，其与Deligne的Riemann–Roch等距同构有何关联？
• RQ4 复Chern–Simons丛能否通过交集丛上的联络来表征投影结构？
• RQ5 相对复Chern–Simons丛的曲率为何？其与Atiyah–Bott–Goldman形式等经典拓扑不变量有何关系？

主要发现

• 证明了相对复Chern–Simons丛$ L_{ m CS}$具有晶体性质，其曲率等于Atiyah–Bott–Goldman形式。
• 利用Chern–Simons变换，证明了Bertola–Korotkin–Norton关于Bergman与Bers投影结构比较的猜想。
• Cappell–Miller torsion满足Riemann–Roch公式，证实了该猜想，并将Deligne的Riemann–Roch等距同构扩展至全纯torsion。
• 通过形式化方法，获得Wolpert结果的新证明：第一tautological类与Teichmüller空间上的Weil–Petersson形式相关。
• 复Chern–Simons丛为Schottky空间上的Takhtajan–Zograf Liouville作用量提供了简洁构造。
• 确立了来自Arakelov几何的度量向相对复Chern–Simons丛的全纯延拓的存在性。