[论文解读] SINGULAR BOTT-CHERN CLASSES AND THE ARITHMETIC GROTHENDIECK RIEMANN ROCH THEOREM FOR CLOSED IMMERSIONS

Burgos Gil|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 14

一句话总结

本文为算术K-理论中的奇异Bott-Chern类提供了公理化框架，证明了Bismut、Gillet与Soulé的理论是唯一满足齐次性的理论。它建立了闭浸入情形下的算术Grothendieck-Riemann-Roch定理，并推导出两个独立结果：具有固定波前集的电流的Poincaré引理，以及某些Bott-Chern类的直接像的闭性。

ABSTRACT

We study the singular Bott-Chern classes introduced by Bismut, Gillet and Soule. Singular Bott-Chern classes are the main ingredient to define direct images for closed immersions in arithmetic K-theory. In this paper we give an axiomatic definition of a theory of singular Bott-Chern classes, study their properties, and classify all possible theories of this kind. We identify the theory defined by Bismut, Gillet and Soule as the only one that satisfies the additional condition of being homogeneous. We include a proof of the arithmetic Grothendieck-Riemann-Roch theorem for closed immersions that gen- eralizes a result of Bismut, Gillet and Soule and was already proved by Zha. This result can be combined with the arithmetic Grothendieck- Riemann-Roch theorem for submersions to extend this theorem to ar- bitrary projective morphisms. As a byproduct of this study we obtain two results of independent interest. First, we prove a Poincare lemma for the complex of currents with fixed wave front set, and second we prove that certain direct images of Bott-Chern classes are closed.

研究动机与目标

• 为算术K-理论中奇异Bott-Chern类的使用提供公理化定义。
• 对所有可能的奇异Bott-Chern类理论进行分类，并识别出唯一的齐次理论。
• 为闭浸入情形建立算术Grothendieck-Riemann-Roch定理，推广先前的结果。
• 推导出两个具有更广泛数学意义的独立结果：具有固定波前集的电流的Poincaré引理，以及Bott-Chern类直接像的闭性。
• 通过结合浸入与子mersioin情形的结果，使算术Grothendieck-Riemann-Roch定理可推广至任意射影态射。

提出的方法

• 基于函子性、与拉回的交换性以及一个分裂条件，建立奇异Bott-Chern类的公理系统。
• 利用电流与波前集理论，分析奇异Bott-Chern类在直接像下的行为。
• 应用具有固定波前集的电流的Poincaré引理，以确立这些类的上同调性质。
• 利用对偶性与∂̄-技巧，证明闭浸入下Bott-Chern类的直接像为闭形式。
• 通过显式计算陈特征与Todd类校正项，构造闭浸入情形下的算术Grothendieck-Riemann-Roch定理。
• 将闭浸入情形的结果与已知的子mersioin情形定理相结合，将算术Grothendieck-Riemann-Roch定理推广至任意射影态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些公理性质能唯一刻画Bismut、Gillet与Soulé所定义的奇异Bott-Chern类？
• RQ2 何种条件可确保奇异Bott-Chern类理论的齐次性？
• RQ3 如何将算术Grothendieck-Riemann-Roch定理推广至算术K-理论中的闭浸入情形？
• RQ4 具有固定波前集的电流的上同调行为是什么？其与Bott-Chern类有何关联？
• RQ5 在何种条件下，Bott-Chern类的直接像为闭形式？

主要发现

• Bismut、Gillet与Soulé所定义的奇异Bott-Chern类理论，是在所有可能理论中唯一满足齐次性的理论。
• 为具有固定波前集的电流复形建立了Poincaré引理，提供了局部解析性质。
• 证明了闭浸入下Bott-Chern类的直接像为闭形式，这是算术Riemann-Roch理论中的关键技术结果。
• 在闭浸入情形下证明了算术Grothendieck-Riemann-Roch定理，推广了Bismut、Gillet与Soulé的先前结果。
• 结合闭浸入情形的结果与子mersioin情形的已知定理，使算术Grothendieck-Riemann-Roch定理可推广至任意射影态射。
• 本研究还得出两个具有独立兴趣的结果：具有上同调意义的Poincaré引理（针对电流），以及Bott-Chern类直接像的闭性性质。