[论文解读] Complex deformation of critical Kähler metrics

Haozhao Li|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的解析方法，用于研究在复结构变化下常标量曲率凯勒（cscK）度量与凯勒-里奇孤立子的形变，该方法受帕卡尔-许（Pacard-Xu）关于常平均曲率曲面的研究启发。该方法在迹为零的上同调类下建立了附近凯勒类中cscK度量的存在性，并在对称性被保持时将结果推广至复结构的变化情形，证明了在保持群对称性的形变族中存在极小孤立子。

ABSTRACT

In this paper, we use Pacard-Xu's methods to discuss the complex deformation of constant scalar curvature metrics in the case of fixed and varying complex structures. Moreover, we also discuss the complex deformation of Kähler Ricci solitons.

研究动机与目标

• 通过一种新颖的泛函方法，为在固定与变化复结构下cscK度量的形变提供一种替代证明。
• 通过消除福塔基不变量的非退化性假设，将先前关于cscK与凯勒-里奇孤立子形变的结果加以推广。
• 在复结构的小形变下，证明在由迹为零的(1,1)-类扰动的凯勒类中cscK度量的存在性。
• 在形变保持了等距群的最大紧子群的情况下，证明在形变的凯勒类中存在极小孤立子。

提出的方法

• 通过福塔基不变量构造一个泛函Φ(t, β)，用于检测在小t下扰动凯勒类[ωg + tβ]中cscK度量的存在性。
• 应用帕卡尔-许方法（源自常平均曲率问题）以克服线性化方程中的核障碍，避免依赖于具有非平凡核的隐函数定理。
• 使用投影算子Πg⊥和Πφ⊥将标量曲率投影到Killing势的正交补空间上，以确保形变方程的可解性。
• 在复形变(Jt, gt, ωt)上施加G-不变性，以保持对称性并确保形变问题中线性化算子的可逆性。
• 采用修正的标量曲率方程S(t, φ) = 0并引入正交投影，以处理非平凡的全纯向量场并维持可解性。
• 在G-不变凯勒势空间中对投影方程S(t, φ) = 0应用隐函数定理技术，证明对小t存在解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设福塔基不变量非退化的情况下，cscK度量能否在小复结构变化下被形变？
• RQ2 帕卡尔-许泛函方法是否能成功解决cscK度量形变中的核障碍问题？
• RQ3 在何种复形变(Jt, gt, ωt)条件下，凯勒-里奇孤立子会在附近凯勒类中保持存在？
• RQ4 当等距群在形变上作用全纯时，能否在形变的凯勒类中构造出极小孤立子？

主要发现

• 对任意迹为零的β ∈ H^{1,1}(M)且单位范数，存在ε₀ > 0，使得若Φ(t, β) = 0对t ∈ (0, ε₀)成立，则M在[ωg + tβ]中 admits cscK度量。
• 泛函Φ具有t²展开式：Φ(t, β) = t²∫_M (Πg(Ri¯jβj¯i))² ωgⁿ + O(t³)，表明主导障碍项在t中为二次型。
• 当ωg为凯勒爱因斯坦且β迹为零时，障碍项变为t⁴：Φ(t, β) = t⁴∫_M (Πg(βi¯jβj¯i))² ωgⁿ + O(t⁵)。
• 若Φ(t, β)的前m个系数a₁(β), ..., aₘ(β)为零，则在[ωg + tβ]中存在凯勒度量ωt,β，其标量曲率接近平均值：||s(ωt,β) - s̄(t)||_{Cᵏ} ≤ C t^{(m+1)/2}。
• 对于G-不变的复形变(Jt, gt, ωt)，方程S(t, φ) = 0在Cᵏ⁺²中存在解φ，从而保证对小t在[ωt]中存在G-不变的极小孤立子。
• 一个例子表明，ℂℙ²在一点的爆破在2πc₁(ℳ) - t[E]中对小t > 0存在极小孤立子，尽管其不存在凯勒-爱因斯坦度量。