[论文解读] Complex numbers in three dimensions

Silviu Olariu|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了一种三维的可交换超复代数，基于形如 $ w = x + hy + kz $ 的三复数，其乘法规则为 $ h^2 = k $，$ k^2 = h $，$ hk = 1 $。该研究建立了指数形式与三角函数形式，证明了全纯性、路径无关的积分以及基于 $ \phi $ 的循环性质的留数理论，实现了复分析向三维空间的几何与代数一致的推广。

ABSTRACT

A system of commutative hypercomplex numbers of the form w=x+hy+kz are introduced in 3 dimensions, the variables x, y and z being real numbers. The multiplication rules for the complex units h, k are h^2=k, k^2=h, hk=1. The operations of addition and multiplication of the tricomplex numbers introduced in this paper have a simple geometric interpretation based on the modulus d, amplitude ρ, polar angle θand azimuthal angle ϕ. Exponential and trigonometric forms are obtained for the tricomplex numbers, depending on the variables d, ρ, θand ϕ. The tricomplex functions defined by series of powers are analytic, and the partial derivatives of the components of the tricomplex functions are closely related. The integrals of tricomplex functions are independent of path in regions where the functions are regular. The fact that the exponential form of the tricomplex numbers contains the cyclic variable ϕleads to the concepts of pole and residue for integrals of tricomplex functions on closed paths. The polynomials of tricomplex variables can be written as products of linear or quadratic factors.

研究动机与目标

• 开发一种三维可交换超复数系统，支持类似于复分析的全纯函数理论。
• 通过构建具有几何与代数丰富性的可交换、结合代数，克服四元数及其他非可交换超复系统之局限。
• 利用模长 $ \rho $、极角 $ \theta $ 与方位角 $ \phi $，为三复数定义指数、三角函数与幂级数形式。
• 基于 $ \phi $ 的循环性质，建立全纯三复函数的路径无关积分与留数微积分理论。
• 证明三复多项式可分解为一次或二次因式，但因分量排序不同，分解不唯一。

提出的方法

• 将三复数定义为 $ u = x + hy + kz $，其中 $ x, y, z \in \mathbb{R} $，并规定乘法规则 $ h^2 = k $，$ k^2 = h $，$ hk = 1 $，确保代数的可交换性与结合性。
• 引入几何不变量：模长 $ \rho = (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^{1/3} $，极角 $ \theta $ 通过 $ \tan\theta = D/s $ 定义，方位角 $ \phi $ 位于平面 $ x + y + z = 0 $ 上。
• 利用余三角函数 $ \text{cx}(\xi), \text{mx}(\xi), \text{px}(\xi) $ 构造指数与三角函数形式，满足恒等式 $ \text{cx}^3 + \text{px}^3 + \text{mx}^3 - 3\text{cx}\,\text{px}\,\text{mx} = 1 $。
• 通过幂级数定义全纯三复函数，证明其分量满足微分关系，且导数与路径无关。
• 建立围线积分，当闭合路径环绕三等分线时，有 $ \oint_\Gamma f(u)\,du/(u - u_0) = 2\pi(h - k)f(u_0) $，从而支持留数理论。
• 通过 $ TUT^{-1} $ 提供矩阵表示，得到实数域上的 3×3 矩阵形式，验证了不可约性与实系数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种三维可交换、结合的超复代数，能够支持类似于复分析的全纯函数理论？
• RQ2 如何利用几何不变量 $ \rho $、$ \theta $ 与 $ \phi $，为三复数定义指数与三角函数形式？
• RQ3 三复函数的积分在正则区域是否仍保持路径无关性？能否建立留数理论？
• RQ4 三复变量的幂级数在收敛性与全纯性方面有何行为特征？
• RQ5 三复多项式能否分解为实系数或共轭复数系数的一次或二次因式？

主要发现

• 模长 $ \rho $ 与 $ \tan\theta/\sqrt{2} $ 在乘法下保持乘法性，$ \phi $ 保持加法性，其性质与二维复数一致。
• 指数形式为 $ u = \rho \exp\left[ \frac{1}{3}(h + k)\ln(\sqrt{2}/\tan\theta) + \frac{1}{3}(h - k)\phi \right] $，其中 $ \phi $ 具有周期性，从而支持留数理论。
• 三角函数形式为 $ u = d\sqrt{3/2} \left[ \frac{1}{3}(2 - h - k)\sin\theta + \frac{1}{3}(1 + h + k)\sqrt{2}\cos\theta \right] \exp\left( \frac{(h - k)\phi}{\sqrt{3}} \right) $，提供几何直观。
• 三复变量的幂级数在以三等分线 $ x = y = z $ 为中心的柱形区域内收敛，推广了复分析中的圆域收敛性。
• 对于正则三复函数，积分 $ \int_A^B f(u)\,du $ 保持路径无关性，与复分析中的情形类似。
• 留数理论成立：当闭合路径环绕通过 $ u_0 $ 的三等分线时，有 $ \oint_\Gamma f(u)\,du/(u - u_0) = 2\pi(h - k)f(u_0) $。
• 多项式可分解为一次或二次因式的乘积，但因横截与纵向分量中根的排序不同，分解不唯一。