[论文解读] Complex Numbers, One-Parameter of Unitary Transformations and Stone's Theorem in Topos Quantum Theory

W. G. Brenna, Cecilia Flori|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了复数与单参数酉群的拓扑斯理论表述，通过实数与复数量值对象的格罗滕迪克k-扩张构造了内部阿贝尔群结构。它建立了石定理的拓扑斯类比，为量子理论中的酉动力学提供了一个不依赖外部时间或测量的奠基性框架。

ABSTRACT

Topos theory has been suggested first by Isham and Butterfield, and then by Isham and Doering, as an alternative mathematical structure within which to formulate physical theories. In particular, it has been used to reformulate standard quantum mechanics in such a way that a novel type of logic is used to represent propositions. In recent years the topic has been considerably progressing with the introduction of probabilities, group and group transformations. In the present paper we will introduce a candidate for the complex quantity value object and analyse its relation to the real quantity value object. By defining the Grothendieck k-extension of these two objects, so as to turn them into abelian groups, it is possible to define internal one parameter groups in a topos. We then use this new definition to construct the topos analogue of the Stone's theorem.

研究动机与目标

• 在拓扑斯量子理论中定义复数量值对象的候选形式，扩展实数量值对象。
• 解决在拓扑斯框架中酉变换与群动力学缺乏一致内部表示的问题。
• 通过量值对象的格罗滕迪克k-扩张，构造内部单参数酉变换群。
• 建立石定理的拓扑斯理论类比，以逻辑一致且与观察者无关的方式，将自伴算符与酉流联系起来。
• 克服先前形式中依赖扭曲预层或外部群作用的局限性。

提出的方法

• 将实数量值对象定义为在阿贝尔冯·诺伊曼子代数的偏序集的上下文上，保持顺序与反序的映射的预层。
• 引入格罗滕迪克k-扩张，将实数与复数量值对象转化为拓扑斯内的阿贝尔群。
• 将复数量值对象构造为满足保持顺序与反序条件的实值映射对，形成广义区间对象。
• 利用k-扩张在实数与复数量值对象上定义内部阿贝尔群结构，从而支持代数运算。
• 将内部单参数酉变换群定义为从内部实直线（在拓扑斯中）到复数量值对象的酉群的连续态射。
• 通过证明在拓扑斯的内部逻辑中，自伴算符通过指数映射生成酉流，推导出石定理的拓扑斯类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在量子理论的上下文范畴上的预层拓扑斯中，将复数表示为内部对象？
• RQ2 何种恰当的拓扑斯理论构造可避免使用扭曲预层，来构建单参数酉变换群？
• RQ3 石定理——将自伴生成元与酉时间演化联系起来——能否在拓扑斯的内部逻辑中重建？
• RQ4 格罗滕迪克k-扩张如何用于赋予量值对象阿贝尔群结构，以实现代数一致性？
• RQ5 连续性与内部群结构在定义酉动力学时扮演何种角色，从而避免依赖外部时间参数？

主要发现

• 复数量值对象被构造为在上下文范畴上的保持顺序与反序的映射对，形成广义区间对象。
• 格罗滕迪克k-扩张将实数与复数量值对象转化为内部阿贝尔群，使拓扑斯内可进行代数运算。
• 内部单参数酉变换群通过从内部实直线到复数量值对象的酉群的连续态射来定义。
• 建立了石定理的拓扑斯类比：每个自伴算符通过指数映射生成酉流，且该流是内部的，并在上下文态射下协变。
• 该构造避免使用扭曲预层，为拓扑斯量子理论中的酉动力学提供了统一且与观察者无关的表述。
• 该框架支持一种基于逻辑与倾向性的概率与酉演化解释，与拓扑斯量子理论的非工具主义纲领相一致。