[论文解读] Complexity of Combinatorial Market Makers

Yiling Chen, Lance Fortnow+3 more|ArXiv.org|Feb 11, 2008

Sports Analytics and Performance参考文献 23被引用 12

一句话总结

本文证明，在使用汉森对数市场评分规则（LMSR）计算组合预测市场中的价格和支付时，即使在严重受限的投注语言下（例如排列市场中的子集或配对投注，以及二元事件中的布尔组合），该问题也是#P难的。尽管存在这种计算不可解性，作者仍设计了一种基于在线学习与专家建议的近似算法，证明在极限情况下，市场做市商的最坏情况损失仍被限制在 $ b \ln(n!) $，与完整市场的LMSR理论界限一致，同时确保了价格一致性。

ABSTRACT

We analyze the computational complexity of market maker pricing algorithms for combinatorial prediction markets. We focus on Hanson's popular logarithmic market scoring rule market maker (LMSR). Our goal is to implicitly maintain correct LMSR prices across an exponentially large outcome space. We examine both permutation combinatorics, where outcomes are permutations of objects, and Boolean combinatorics, where outcomes are combinations of binary events. We look at three restrictive languages that limit what traders can bet on. Even with severely limited languages, we find that LMSR pricing is $\SP$-hard, even when the same language admits polynomial-time matching without the market maker. We then propose an approximation technique for pricing permutation markets based on a recent algorithm for online permutation learning. The connections we draw between LMSR pricing and the vast literature on online learning with expert advice may be of independent interest.

研究动机与目标

• 分析在结果空间指数级庞大的组合预测市场中，LMSR定价的计算复杂度。
• 研究受限投注语言（例如排列市场中的子集或配对投注，二元事件中的布尔组合）是否能使LMSR定价变得可计算。
• 为排列市场中的LMSR定价开发一种近似算法，以保证最坏情况损失有界。
• 建立LMSR定价与在线学习中专家建议之间的正式联系。

提出的方法

• 作者证明了在受限投注语言下，LMSR定价与支付计算在排列市场和布尔组合市场中均为#P难问题。
• 他们提出了一种子集投注近似算法，将大额交易拆分为小增量 $ \epsilon $，通过在排列上使用指数加权方法更新价格矩阵。
• 该方法利用了在线学习中专家建议的技术，将每个排列视为一个专家，并根据交易结果更新权重。
• 一个关键组成部分是使用正则化参数 $ \eta = 2\epsilon / b $，该参数控制学习速度与价格准确度之间的权衡。
• 该算法确保在 $ \epsilon \to 0 $ 的极限下，总损失始终被限制在 $ b \ln(n!) $ 以内，与完整LMSR的理论最坏情况损失一致。
• 通过后悔最小化与凸分析推导出理论边界，最终损失边界表示为 $ \frac{\eta}{1 - e^{-\eta}} b n \ln n + \left( \frac{\eta}{1 - e^{-\eta}} - 1 \right) 2\epsilon n T $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当交易者被限制在简单投注（如“候选人 i 排名第 j 位”）时，LMSR定价是否在计算上是可行的？
• RQ2 在排列市场中，LMSR的近似算法能否在保持价格一致性的同时实现有界的最坏情况损失？
• RQ3 LMSR定价与在线学习中专家建议之间存在何种联系？
• RQ4 即使相同投注的匹配问题属于多项式时间，LMSR定价的计算困难性是否依然存在？

主要发现

• 在排列市场和布尔组合市场中，即使在严重受限的投注语言（如子集和配对投注）下，LMSR定价与支付计算仍是#P难的。
• 针对排列市场中子集投注的近似算法，确保在 $ \epsilon \to 0 $ 的极限下，最坏情况损失被限制在 $ b \ln(n!) $ 以内，与完整市场LMSR的损失一致。
• 该算法在保持所有排列间价格一致性的同时实现该边界，而分别为每个位置设立市场则可能引发价格不一致。
• 该损失边界与为每个位置独立运行 $ n $ 个LMSR的性能相当，但该近似方法确保了全局价格一致性。
• 理论分析表明，该近似算法的后悔量级为 $ O(\epsilon n T) $，且随着 $ \epsilon \to 0 $，损失差距逐渐缩小。
• 本文建立了LMSR定价与在线学习中专家建议之间的正式且实用的联系，表明专家学习技术在自动做市商中的更广泛应用潜力。