[论文解读] Complexity-Theoretic Limitations on Quantum Algorithms for Topological Data Analysis

Alexander Schmidhuber, Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2022

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 44被引用 3

一句话总结

本文证明，计算贝蒂数——拓扑数据分析（TDA）的核心——是#P难问题，即使在量子计算机上，近似计算贝蒂数至多具有乘法误差也是NP难问题。尽管LGZ量子算法看似具有指数级加速，但作者证明其在渐近几乎所有情况下仅能实现二次加速，只有当输入以单纯形规格形式给出而非顶点-边列表形式时，才可能实现指数级优势。

ABSTRACT

Quantum algorithms for topological data analysis (TDA) seem to provide an exponential advantage over the best classical approach while remaining immune to dequantization procedures and the data-loading problem. In this paper, we give complexity-theoretic evidence that the central task of TDA -- estimating Betti numbers -- is intractable even for quantum computers. Specifically, we prove that the problem of computing Betti numbers exactly is #P-hard, while the problem of approximating Betti numbers up to multiplicative error is NP-hard. Moreover, both problems retain their hardness if restricted to the regime where quantum algorithms for TDA perform best. Because quantum computers are not expected to solve #P-hard or NP-hard problems in subexponential time, our results imply that quantum algorithms for TDA offer only a polynomial advantage in the worst case. We support our claim by showing that the seminal quantum algorithm for TDA developed by Lloyd, Garnerone and Zanardi achieves a quadratic speedup over the best known classical approach in asymptotically almost all cases. Finally, we argue that an exponential quantum advantage can be recovered if the input data is given as a specification of simplices rather than as a list of vertices and edges.

研究动机与目标

• 研究拓扑数据分析（TDA）中量子算法的复杂性理论限制，特别是关于贝蒂数计算的问题。
• 确定TDA中声称的指数级量子优势在标准复杂性理论假设下是否稳健。
• 识别LGZ量子算法在TDA中的计算瓶颈，并评估量子加速在何种情况下可实际实现。
• 分析在何种条件下，尽管存在困难结果，TDA中仍可能实现指数级量子优势。
• 阐明输入表示的作用，特别是顶点-边列表与单纯形规格是否影响量子加速的前景。

提出的方法

• 通过将一个已知的#P完全问题（即3-CNF公式满足赋值的计数）归约到贝蒂数问题，证明了精确计算贝蒂数是#P难问题。
• 通过从3-SAT到贝蒂数问题的保真归约，确立了在乘法误差范围内近似计算贝蒂数是NP难问题。
• 将困难性结果限制在团密集的单纯复形中，即LGZ算法表现最佳的领域，表明在现实的输入假设下困难性依然存在。
• 分析了LGZ算法在随机维特里斯-里普斯复形上的运行时间，表明其在渐近几乎所有情况下相对于经典方法实现了类似格罗弗的二次加速。
• 识别出从顶点-边列表构建表示单纯复形的量子态是主要瓶颈，而非贝蒂数估计本身，该步骤本身是#P难问题。
• 提出了一种改进的LGZ算法，当可访问用于采样k-单纯形的量子预言机时，该算法可实现指数级加速，表明输入表示从根本上改变了量子优势的潜力。

实验结果

研究问题

• RQ1 精确计算贝蒂数的问题是否即使在量子计算机上也是#P难的？
• RQ2 在量子环境下，近似计算贝蒂数至常数倍乘法误差是否为NP难问题？
• RQ3 当限制在团密集复形（LGZ算法表现最佳的领域）时，TDA中LGZ算法的量子优势是否依然存在？
• RQ4 LGZ算法在平均情况下的真实运行时间是多少，特别是在随机维特里斯-里普斯复形上？
• RQ5 如果输入以单纯形列表而非顶点和边的列表形式提供，是否仍可恢复TDA中的指数级量子优势？

主要发现

• 精确计算贝蒂数的问题是#P难问题，表明在标准复杂性假设下，量子计算机不太可能以亚指数时间解决该问题。
• 在乘法误差范围内近似计算贝蒂数是NP难问题，意味着即使近似量子解也面临根本性的复杂性障碍。
• 即使限制在团密集复形（LGZ算法已知表现最优的输入领域），贝蒂数计算的困难性依然存在。
• LGZ算法在渐近几乎所有情况下仅相对于经典算法实现二次（类似格罗弗）加速，与声称的指数级优势相矛盾。
• LGZ算法的主要瓶颈并非贝蒂数估计，而是从顶点-边列表准备量子态，而该步骤本身是#P难问题。
• 如果输入以单纯形规格（例如通过采样预言机）提供，TDA中的指数级量子优势可被恢复，表明输入表示对量子加速至关重要。