[论文解读] Composition limits and separating examples for some Boolean function complexity measures

Justin Gilmer, Michael Saks+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过构造一个无限函数族，建立了基本布尔函数复杂度度量之间的最优分离——特别是证书复杂度 $C(f)$、分数证书复杂度 $C^*(f)$ 和块敏感度 $bs(f)$——其中 $C(f)$ 相对于 $bs(f)$ 和 $C^*(f)$ 呈二次增长，实现了目前已知最紧的分离。此外，本文还证明了 $bs^*(f)$ 与 $bs(f)$ 之间存在 $3/2$ 的分离，通过函数复合与从函数结构导出的 $2\times2$ 矩阵的谱分析，解决了长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

Block sensitivity ($bs(f)$), certificate complexity ($C(f)$) and fractional certificate complexity ($C^*(f)$) are three fundamental combinatorial measures of complexity of a boolean function $f$. It has long been known that $bs(f) \leq C^{\ast}(f) \leq C(f) =O(bs(f)^2)$. We provide an infinite family of examples for which $C(f)$ grows quadratically in $C^{\ast}(f)$ (and also $bs(f)$) giving optimal separations between these measures. Previously the biggest separation known was $C(f)=C^{\ast}(f)^{\log_{4.5}5}$. We also give a family of examples for which $C^{\ast}(f)=Ω(bs(f)^{3/2})$. These examples are obtained by composing boolean functions in various ways. Here the composition $f \circ g$ of $f$ with $g$ is obtained by substituting for each variable of $f$ a copy of $g$ on disjoint sets of variables. To construct and analyse these examples we systematically investigate the behaviour under function composition of these measures and also the sensitivity measure $s(f)$. The measures $s(f)$, $C(f)$ and $C^{\ast}(f)$ behave nicely under composition: they are submultiplicative (where measure $m$ is submultiplicative if $m(f \circ g) \leq m(f)m(g)$) with equality holding under some fairly general conditions. The measure $bs(f)$ is qualitatively different: it is not submultiplicative. This qualitative difference was not noticed in the previous literature and we correct some errors that appeared in previous papers. We define the composition limit of a measure $m$ at function $f$, $m^{\lim}(f)$ to be the limit as $k$ grows of $m(f^{(k)})^{1/k}$, where $f^{(k)}$ is the iterated composition of $f$ with itself $k$-times. For any function $f$ we show that $bs^{\lim}(f) = (C^*)^{\lim}(f)$ and characterize $s^{\lim}(f), (C^*)^{\lim}(f)$, and $C^{\lim}(f)$ in terms of the largest eigenvalue of a certain set of $2 imes 2$ matrices associated with $f$.

研究动机与目标

• 解决关于证书复杂度 $C(f)$、分数证书复杂度 $C^*(f)$ 和块敏感度 $bs(f)$ 之间最大分离的长期悬而未决的开放问题。
• 纠正文献中关于块敏感度在函数复合下次乘性的错误认知。
• 引入并分析复合极限 $m^{\lim}(f)$，定义为 $\lim_{k\to\infty} m(f^{(k)})^{1/k}$，针对复杂度度量 $m$。
• 利用 $2\times2$ 矩阵的特征值，刻画敏感度、证书复杂度和块敏感度在迭代函数复合下的渐近行为。

提出的方法

• 通过迭代函数复合 $f^{(k)} = f \circ f^{(k-1)}$ 构造分离示例，使用具有受控复杂度特性的基函数。
• 定义复合极限 $m^{\lim}(f)$，以分析复杂度度量在迭代下的渐近增长速率。
• 分析 $s(f)$、$C(f)$、$C^*(f)$ 和 $bs(f)$ 在复合下的行为：证明 $s$、$C$、$C^*$ 具有次乘性，但 $bs$ 不具有。
• 将 $C^*(f)$ 和 $C(f)$ 的分析简化为对从函数结构和赋值选择器导出的特定 $2\times2$ 矩阵的最大特征值的有界。
• 利用谱理论，以相关矩阵的最大特征值来表征 $s^{\lim}(f)$、$(C^*)^{\lim}(f)$ 和 $C^{\lim}(f)$。
• 将该方法应用于显式构造函数 $f_n$，使得 $bs(f_n) = O(n)$ 且 $bs^*(f_n) = \Omega(n^{3/2})$，从而证明 $\mathrm{crit}(bs^*, bs) \geq 3/2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 证书复杂度 $C(f)$ 与块敏感度 $bs(f)$ 之间的最大可能分离是什么？
• RQ2 是否可以利用函数复合实现 $C(f)$、$C^*(f)$ 和 $bs(f)$ 之间的最优分离？
• RQ3 为什么块敏感度在函数复合下不具有次乘性？这如何影响先前的研究结果？
• RQ4 如何刻画复杂度度量在迭代复合下的渐近行为？
• RQ5 临界指数 $\mathrm{crit}(bs^*, bs)$ 的最紧下界是什么？

主要发现

• 本文构造了一个无限的布尔函数族，使得 $C(f) = \Theta(bs(f)^2)$，实现了证书复杂度与块敏感度之间最优的二次分离。
• 证明了对无穷多个 $n$，有 $C^*(f) = \Omega(bs(f)^{3/2})$，从而确立 $\mathrm{crit}(bs^*, bs) \geq 3/2$，且该界是紧的。
• 复合极限 $m^{\lim}(f)$ 被证明等于与 $f$ 相关的 $2\times2$ 矩阵的最大特征值，为渐近复杂度增长提供了谱表征。
• 块敏感度在复合下不具有次乘性，这一事实此前被忽视，而本文证明这正是早期文献中错误的根源。
• 敏感度 $s(f)$、证书复杂度 $C(f)$ 和 $C^*(f)$ 在复合下具有次乘性，且在温和条件下取等；而 $bs(f)$ 不具有次乘性。
• 提供了显式构造的函数 $g_n$，满足 $bs_0^*(g_n) = \Omega(\sqrt{n})$ 且 $bs_0(g_n) \leq 3$，从而通过 $f_n = \mathrm{OR}_n \circ g_n$ 实现了 $3/2$ 的分离。