[论文解读] Composition of simplicial complexes, polytopes and multigraded Betti numbers

Anton Ayzenberg|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文引入了单纯复形上的复合运算，该运算推广了迭代单纯楔积和多面体连积，并利用生成函数建立了复合复形的多分次 Betti 数的公式。主要贡献是给出了这些 Betti 数的闭式表达式，以输入复形表示，其应用包括神经复形和广义多面体的 $h$-多项式。

ABSTRACT

For a simplicial complex K on m vertices and simplicial complexes K1,...,Km a composed simplicial complex K(K1,...,Km) is introduced. This construction generalizes an iterated simplicial wedge construction studied by A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen and S. Gitler and allows to describe the combinatorics of generalized joins of polytopes P(P1,...,Pm) defined by G. Agnarsson. The composition defines a structure of an operad on a set of finite simplicial complexes. We prove the following: (1) a composed complex K(K1,...,Km) is a simplicial sphere iff K is a simplicial sphere and Ki are the boundaries of simplices; (2) a class of spherical nerve-complexes is closed under the operation of composition (3) finally, we express multigraded Betti numbers of K(K1,...,Km) in terms of multigraded Betti numbers of K, K1,...,Km using a composition of generating functions.

研究动机与目标

• 定义单纯复形上的新复合运算，该运算推广了迭代单纯楔积和多面体连积。
• 建立复合复形与输入复形的广义连积之间的同伦等价关系。
• 通过生成函数，将复合复形的多分次 Betti 数表示为输入复形的 Betti 数的函数。
• 刻画复合复形为单纯球面或球面神经复形的条件。
• 推导复合复形的 $h$-多项式与 $q$-多项式的公式，将其与 Betti 数和 Stanley–Reisner 环联系起来。

提出的方法

• 通过组合方式和多面体连积构造，定义复合单纯复形 $K(K_1,\ldots,K_m)$。
• 通过同伦等价证明 $K(K_1,\ldots,K_m) \simeq K * K_1 * \cdots * K_m$。
• 使用生成函数，将复合复形的多分次 Betti 数表示为输入复形生成函数的乘积。
• 建立复合复形的 $q$-多项式与输入复形 $q$-多项式复合之间的联系。
• 将公式应用于特殊情形，如 $\partial\Delta_{[l]}$ 和虚顶点复形，以恢复已知结果。
• 利用双分次 Betti 数与 $h$-多项式之间的关系，推导出 $h_{lK}(t)$ 关于 $h_K(t)$ 的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时复合单纯复形 $K(K_1,\ldots,K_m)$ 是一个单纯球面？
• RQ2 球面神经复形类在复合运算下是否封闭？
• RQ3 如何从 $K, K_1, \ldots, K_m$ 的 Betti 数计算 $K(K_1,\ldots,K_m)$ 的多分次 Betti 数？
• RQ4 复合复形的 $q$-多项式与各组成部分的 $q$-多项式之间有何关系？
• RQ5 广义多面体 $P(P_1,\ldots,P_m)$ 的 $h$-多项式如何与 $P, P_1, \ldots, P_m$ 的 $h$-多项式相关联？

主要发现

• 复合复形 $K(K_1,\ldots,K_m)$ 是单纯球面，当且仅当 $K$ 是单纯球面，且每个 $K_i$ 是单形的边界。
• 球面神经复形类在复合运算下是封闭的，尽管单纯球面类并非如此。
• 复合复形的多分次 Betti 数由输入复形生成函数的乘积给出：$\tilde{b}_{K(K_1,\ldots,K_m)}(s,t) = \tilde{b}_K(s^{-1}, s\tilde{b}_{K_1}(s,t), \ldots, s\tilde{b}_{K_m}(s,t))$。
• 对于复形 $\partial\Delta_{[m]}(K_1,\ldots,K_m)$，其 $q$-多项式满足 $q_{\partial\Delta_{[m]}(K_1,\ldots,K_m)}(t) = q_{K_1}(t) \cdots q_{K_m}(t)$。
• 对于任意非空复形 $K$ 和 $L$，迭代复合的 $q$-多项式满足 $q_{K(L,\ldots,L)}(t) = q_K(q_L(t))$。
• 对于 $l$ 重广义多面体 $lK = K(l,\ldots,l)$，其 $h$-多项式满足 $h_{lK}(t) = (1 + t + \cdots + t^{l-1})^{m-n} h_K(t^l)$。