[论文解读] Composition theorems in communication complexity

Troy Lee, Shengyu Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 16

一句话总结

本文通过引入基于群的框架，将通信复杂度中的复合定理推广至分析复合函数 $F(x,y) = f(g(x,y))$ 的量子通信复杂度，其中 $g$ 映射到群 $G$。在广义的谢斯特沃夫强平衡条件并放松施伊-朱谱差异要求的群不变性条件下，建立了以 $f$ 的近似度表示的量子通信复杂度下界。

ABSTRACT

A well-studied class of functions in communication complexity are composed functions of the form $(f \comp g^n)(x,y)=f(g(x^1, y^1),..., g(x^n,y^n))$. This is a rich family of functions which encompasses many of the important examples in the literature. It is thus of great interest to understand what properties of $f$ and $g$ affect the communication complexity of $(f \comp g^n)$, and in what way. Recently, Sherstov \cite{She09b} and independently Shi-Zhu \cite{SZ09b} developed conditions on the inner function $g$ which imply that the quantum communication complexity of $f \comp g^n$ is at least the approximate polynomial degree of $f$. We generalize both of these frameworks. We show that the pattern matrix framework of Sherstov works whenever the inner function $g$ is {\em strongly balanced}---we say that $g: X imes Y o \{-1,+1\}$ is strongly balanced if all rows and columns in the matrix $M_g=[g(x,y)]_{x,y}$ sum to zero. This result strictly generalizes the pattern matrix framework of Sherstov \cite{She09b}, which has been a very useful idea in a variety of settings \cite{She08b,RS08,Cha07,LS09,CA08,BHN09}. Shi-Zhu require that the inner function $g$ has small {\em spectral discrepancy}, a somewhat awkward condition to verify. We relax this to the usual notion of discrepancy. We also enhance the framework of composed functions studied so far by considering functions $F(x,y) = f(g(x,y))$, where the range of $g$ is a group $G$. When $G$ is Abelian, the analogue of the strongly balanced condition becomes a simple group invariance property of $g$. We are able to formulate a general lower bound on $F$ whenever $g$ satisfies this property.

研究动机与目标

• 将现有的通信复杂度复合定理推广至非布尔内函数的受限情况之外。
• 统一并推广谢斯特沃（模式矩阵）与施伊-朱（谱差异）框架，用于界定量子通信复杂度。
• 引入一个群论框架，其中内函数 $g$ 映射到任意群 $G$，从而能够分析更广泛的复合函数类。
• 用更简单、更自然的群不变性条件替代施伊-朱的复杂谱差异条件，该条件广义化了强平衡性。
• 在新条件下，基于 $f$ 的近似度，建立 $f \circ g^n$ 量子通信复杂度的一般下界。

提出的方法

• 提出一个适用于复合函数 $F(x,y) = f(g(x,y))$ 的通用框架，其中 $g: X \times Y \to G$，且 $G$ 为有限群，推广了布尔情形。
• 定义 $g$ 的群不变性条件，该条件广义化了谢斯特沃的强平衡条件：多重集 $S^{x,x'}$ 和 $T^{y,y'}$ 必须在群作用下不变。
• 应用有限群的表示理论，特别是不可约特征标，对 $F$ 的通信矩阵进行分解。
• 利用矩阵表示的张量积结构，通过特征标矩阵的 $\ell^2$-范数界定量子通信复杂度。
• 推导出量子通信复杂度 $Q(A)$ 的下界，形式为 $\sum_{i \in S} \log_2 \frac{\sqrt{\mathrm{size}(M_{g_i})}}{\deg(\chi_i) \|M_{\chi_i \circ g_i}\|}$，其中 $S$ 是大小超过 $\deg_{1/3}(f)$ 的集合。
• 证明当 $G$ 为阿贝尔群时，群不变性条件在 $G = \mathbb{Z}_2^t$ 情形下等价于标准强平衡条件，从而统一了先前结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 谢斯特沃模式矩阵框架能否推广至输出为群值的函数，而不仅限于布尔情形？
• RQ2 施伊-朱为量子通信复杂度下界所要求的谱差异条件，是否可被更简单、更自然的替代条件所取代？
• RQ3 内函数 $g$ 的何种群论条件可确保 $f \circ g^n$ 的量子通信复杂度下界由 $f$ 的近似度决定？
• RQ4 当 $g$ 映射到乘积群 $G_1 \times \cdots \times G_t$ 时，$f \circ g^n$ 的通信矩阵结构如何分解？
• RQ5 在何种条件下，群不变性条件可推出 $f \circ g^n$ 的量子复杂度至少为 $f$ 的近似度？

主要发现

• 本文将谢斯特沃的模式矩阵框架推广至具有群值内函数的函数，证明当 $g$ 满足群不变性条件时，$f \circ g^n$ 的量子通信复杂度至少为 $f$ 的近似度。
• 群不变性条件广义化了强平衡条件：当 $G = \mathbb{Z}_2^t$ 时，其等价于每个 $g_i$ 为强平衡。
• 该框架将施伊-朱的谱差异条件简化为标准的群不变性条件，使实际验证更为简便。
• 对于阿贝尔群，量子通信复杂度的下界可表示为 $Q(A) \geq \min_{S, \{\chi_i\}} \sum_{i \in S} \log_2 \frac{\sqrt{\mathrm{size}(M_{g_i})}}{\deg(\chi_i) \|M_{\chi_i \circ g_i}\|} - O(1)$，其中 $S$ 取遍满足 $|S| > \deg_{1/3}(f)$ 的指标集。
• 该框架适用于任意有限群 $G_i$，且下界可推广至乘积群情形，量子复杂度下界依赖于 $g_i$ 的表示理论结构。
• 结果表明，在群不变性条件下，$f$ 的近似度是 $f \circ g^n$ 量子通信复杂度的下界，从而推广了对对称函数与内积函数的已知结果。