[论文解读] Compressed polytopes and statistical disclosure limitation

Seth Sullivant|ArXiv.org|Dec 30, 2004

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过其面定义不等式表征压缩格多面体，证明其仿射同构于0/1多面体，并为压缩的边际多面体和割多面体提供一个条件。主要贡献是基于面超平面上格点分布，提出压缩多面体的必要且充分条件，从而在该条件成立时，使统计披露限制中的整数规划问题可在多项式时间内求解。

ABSTRACT

We provide a characterization of the compressed lattice polytopes in terms of their facet defining inequalities and we show that every compressed lattice polytope is affinely isomorphic to a 0/1-polytope. As an application, we characterize those graphs whose cut polytopes are compressed and discuss consequences for studying linear programming relaxations in statistical disclosure limitation.

研究动机与目标

• 通过其面定义不等式表征压缩格多面体。
• 建立每个压缩多面体都仿射同构于一个0/1多面体的结论。
• 将该表征应用于统计披露限制中的边际多面体和割多面体。
• 确定线性规划松弛在何种情况下对单元格条目最大化问题产生紧致整数边界。
• 识别整数规划间隙最小化或为零的新边际族。

提出的方法

• 使用拉伸三角剖分来定义并分析格多面体中的单模性。
• 基于每个面定义超平移的至多一个平移中包含格点，推导出压缩多面体的必要且充分条件。
• 将主定理应用于可分解的层次模型的边际多面体。
• 利用协方差映射，在二值变量情况下将边际多面体与割多面体关联。
• 证明压缩割多面体对应于不含$K_4$子式且所有诱导圈长度≤4的图。
• 利用关于不含$K_4$子式的图中包含关系的已知结果，证明线性规划的多项式时间可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在面定义不等式的术语下，什么特征定义了一个压缩格多面体？
• RQ2 在边际约束下，线性规划松弛在何种情况下对最大化单元格条目产生紧致整数边界？
• RQ3 哪些图产生压缩割多面体，这与统计披露限制有何关联？
• RQ4 如何利用压缩多面体的结构识别整数规划间隙最小化的边际族？
• RQ5 面超平面上的格点分布与拉伸三角剖分的单模性之间存在何种关系？

主要发现

• 当且仅当对于每个面定义不等式，多面体中的格点位于该不等式所定义超平面的至多一个平移中时，格多面体才是压缩的。
• 每个压缩格多面体都仿射同构于一个0/1多面体，具体而言，是单位超立方体与一个仿射子空间的交集。
• 边际多面体$P_{ riangle}$是压缩的，当且仅当单纯复形$ riangle$是可分解的，或满足特定的度数与圈约束，例如至多两个指标满足$d_i > 2$。
• 对于满足$d = (2,2,...,2)$的图，边际多面体$P_{ riangle}$是压缩的，当且仅当$ riangle$不含$K_4$子式且所有诱导圈长度不超过4。
• 当$P_{ riangle}$是压缩的，单元格条目整数规划的最大值可在$n$和边际的位复杂度的多项式时间内计算。
• 主定理中格点条件的失效对应于非零整数规划间隙的存在，提示在统计披露限制问题中应关注何处可能产生大间隙。