[论文解读] Compressed Sensing from Phaseless Gaussian Measurements via Linear Programming in the Natural Parameter Space

Paul Hand, Vladislav Voroninski|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 19被引用 21

一句话总结

本文提出 SparsePhaseMax，一种在自然参数空间中通过线性规划实现从相位无关高斯测量中压缩感知的方法。证明了当初始化与 $k$-稀疏信号相关时，该方法以高概率恢复信号的全局符号，且样本复杂度为 $O(k\log(n/k))$，首次在该设置下达到最优样本复杂度。

ABSTRACT

We consider faithfully combining phase retrieval with classical compressed sensing. Inspired by the recent novel formulation for phase retrieval called PhaseMax, we present and analyze SparsePhaseMax, a linear program for phaseless compressed sensing in the natural parameter space. We establish that when provided with an initialization that correlates with an arbitrary $k$-sparse $n$-vector, SparsePhaseMax recovers this vector up to global sign with high probability from $O(k \log \frac{n}{k})$ magnitude measurements against i.i.d. Gaussian random vectors. Our proof of this fact exploits a curious newfound connection between phaseless and 1-bit compressed sensing. This is the first result to establish bootstrapped compressed sensing from phaseless Gaussian measurements under optimal sample complexity.

研究动机与目标

• 为解决从仅幅度测量中恢复稀疏信号的挑战，这是相位无关压缩感知中的常见问题。
• 开发一种计算高效的算法，避免先前凸提升方法（如 PhaseLift）带来的高样本复杂度。
• 在相位无关压缩感知设置下，建立在最优样本复杂度下的信号恢复理论保证。
• 通过证明使用 $O(k\\log(n/k))$ 次测量可实现恢复，弥合信息论极限与实际算法之间的差距。
• 证明在结合相关初始化的前提下，自然参数空间中的线性规划可实现最优性能。

提出的方法

• 提出 SparsePhaseMax，一种线性规划方法，通过最大化与相关初始化向量 $\phi$ 的内积，同时施加基于观测幅度测量的约束。
• 使用参数 $\lambda$ 的 $\ell_1$-正则化以促进解的稀疏性，平衡与初始化的一致性以及对测量边界的遵循。
• 对每个测量向量 $a_i$ 施加约束 $-|\langle a_i, x_0\rangle| \leq \langle a_i, x\rangle \leq |\langle a_i, x_0\rangle|$，确保解与相位无关观测一致。
• 通过建立相位无关压缩感知与 1-bit 压缩感知之间的新联系，推导出概率恢复保证。
• 通过对偶性论证分析恢复条件，表明从真实信号出发的唯一可行方向 $h$ 必须为零，从而证明唯一性。
• 利用浓度不等式和随机矩阵理论界，控制失败概率，从而在所述样本复杂度下实现高概率恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自然参数空间中，线性规划能否在相位无关压缩感知中实现稀疏信号的最优样本复杂度？
• RQ2 是否可能在不使用提升的凸优化方法下，从 $O(k\log(n/k))$ 个相位无关高斯测量中恢复出 $k$-稀疏信号？
• RQ3 初始化向量与真实信号之间的相关性如何影响恢复性能与样本复杂度？
• RQ4 是否可能在不假设稀疏信号非零元素幅度有界的前提下，建立理论保证？
• RQ5 $\ell_1$-正则化参数 $\lambda$ 在相位无关测量下确保精确恢复中起什么作用？

主要发现

• SparsePhaseMax 以高概率从 $m = O(k\log(n/k))$ 个相位无关高斯测量中恢复出 $k$-稀疏信号 $x_0$ 的全局符号。
• 当初始化向量 $\phi$ 与归一化信号 $x_0/\|x_0\|_2$ 的相关性 $\alpha > 0$，且 $\lambda$ 选取在区间 $(\frac{1}{2}\frac{\alpha}{\sqrt{k}}, \frac{3}{4}\frac{\alpha}{\sqrt{k}})$ 内时，恢复可被保证。
• 该方法实现了最优样本复杂度，与信息论下限仅相差对数因子。
• 失败概率以 $1 - C_2 e^{-c\alpha^{-2/5} m^{4/5} k^{1/5}}$ 的形式指数衰减，当 $\alpha$ 有正下界时，可简化为 $1 - C_2 e^{-ck}$。
• 证明建立了相位无关压缩感知与 1-bit 压缩感知之间的新联系，从而实现更紧的浓度界。
• 结果无需假设 $x_0$ 中非零元素具有常数幅度，消除了先前工作中的一项限制性假设。