[论文解读] Computable Solutions of Fractional Reaction-Diffusion Equations Associated with Generalized Riemann-Liouville Fractional Derivatives of Fractional Orders

R. K. Saxena, A. M. Mathai+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 51被引用 4

一句话总结

本文通过联合使用拉普拉斯变换与傅里叶变换，推导出具有分数阶广义黎曼-刘维尔时间导数和里叶-菲勒空间导数的分数阶反应-扩散方程的可计算、闭式解。解以广义马特格勒夫函数表示，显著扩展了文献中已有的结果。

ABSTRACT

This paper is in continuation of the authors’ recently published paper (Journal of Mathematical Physics 55(2014)083519) in which computational solutions of an unified reactiondiffusion equation of distributed order associated with Caputo derivatives as the timederivative and Riesz-Feller derivative as space derivative is derived. In the present paper, computable solutions of distributed order fractional reaction-diffusion equations associated with generalized Riemann-Liouville derivatives of fractional orders as the time-derivative and Riesz-Feller fractional derivative as the space derivative are investigated. The solutions of the fractional reaction-diffusion equations of fractional orders are obtained in this paper. The method followed in deriving the solutions is that of joint Laplace and Fourier transforms. The solutions obtained are in a closed and computable form in terms of the familiar generalized Mittag-Leffler functions. They provide elegant extensions of the results given in the literature.

研究动机与目标

• 将现有分数阶反应-扩散方程的解扩展至包含时间方向的分数阶广义黎曼-刘维尔分数阶导数。
• 研究在广义黎曼-刘维尔时间导数与里叶-菲勒空间导数作用下，分布阶分数阶反应-扩散方程的行为。
• 通过积分变换技术，提供适用于数学物理中更广泛应用的闭式、可计算解。
• 通过在时间域中引入更一般的分数阶导数，推广基于卡普托导数的先前结果。

提出的方法

• 采用联合拉普拉斯与傅里叶变换方法，求解具有广义黎曼-刘维尔时间导数和里叶-菲勒空间导数的分数阶反应-扩散方程。
• 通过将原始偏微分方程转换为变换域中的代数方程，推导出解。
• 利用已知的涉及广义马特格勒夫函数的积分表示，计算逆变换。
• 所得解以闭式且可计算的形式表达，适用于数值计算与理论分析。
• 通过变换的性质，确保解与问题的初始条件和边界条件一致。
• 该方法通过在时间导数中对分数阶进行积分，能够处理分布阶方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以闭式形式求解具有广义黎曼-刘维尔时间导数的分数阶反应-扩散方程？
• RQ2 里叶-菲勒导数在建模具有偏斜性的空间分数阶扩散过程中的作用是什么？
• RQ3 基于广义黎曼-刘维尔导数的解与基于卡普托导数导出的解相比有何异同？
• RQ4 能否利用积分变换方法，为分布阶分数阶反应-扩散方程获得可计算的解？
• RQ5 解的解析结构在广义马特格勒夫函数方面如何表示？

主要发现

• 分数阶反应-扩散方程的解以广义马特格勒夫函数表示，形式为闭式且可计算。
• 该方法通过广义黎曼-刘维尔公式，成功处理了分数阶与分布阶时间导数。
• 与基于卡普托导数的先前结果相比，该解通过引入更广泛的分数阶时间导数类，实现了推广。
• 联合使用拉普拉斯与傅里叶变换可实现精确的解析解，无需数值反演。
• 所导出的解为建模具有记忆效应与偏斜性的异常扩散提供了一个统一框架。
• 结果在数学物理中，对经典与分数阶扩散解的推广具有优美的统一性。