[论文解读] Computation of Optimal Control Problems with Terminal Constraint via Variation Evolution

Sheng Zhang, Bo Liao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 2被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种变分演化方法（VEM），用于通过将最优解建模为无限维动力系统的平衡点，求解具有终端约束的最优控制问题。该方法推导出一个演化偏微分方程（EPDE），通过无协态条件驱动状态和控制变量向最优性逼近，从而可通过半离散化转化为使用标准积分器的初值常微分方程（ODE）问题进行数值求解。

ABSTRACT

Enlightened from the inverse consideration of the stable continuous-time dynamics evolution, the Variation Evolving Method (VEM) analogizes the optimal solution to the equilibrium point of an infinite-dimensional dynamic system and solves it in an asymptotically evolving way. In this paper, the compact version of the VEM is further developed for the computation of Optimal Control Problems (OCPs) with terminal constraint. The corresponding Evolution Partial Differential Equation (EPDE), which describes the variation motion towards the optimal solution, is derived, and the costate-free optimality conditions are established. The explicit analytic expressions of the costates and the Lagrange multipliers adjoining the terminal constraint, related to the states and the control variables, are presented. With the semi-discrete method in the field of PDE numerical calculation, the EPDE is discretized as finite-dimensional Initial-value Problems (IVPs) to be solved, with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods.

研究动机与目标

• 开发一种紧凑且高效的最优控制问题（OCPs）计算框架，适用于具有终端约束的问题。
• 通过建立无协态最优性条件，消除显式计算协态变量的需求。
• 通过变分演化，将最优解建模为无限维动力系统的平衡点。
• 推导并求解一个控制渐近收敛至最优性的演化偏微分方程（EPDE）。
• 通过EPDE的半离散化，将其转化为可解的有限维初值问题（IVPs），实现数值求解。

提出的方法

• 通过将最优解建模为连续时间动力系统的平衡点，将变分演化方法（VEM）扩展至具有终端约束的OCPs。
• 推导出一个演化偏微分方程（EPDE），以稳定且渐近的方式描述向最优解的变分运动。
• 建立无协态最优性条件，使终端约束相关的拉格朗日乘子可直接用状态和控制变量表示。
• 使用有限差分或有限元方法对EPDE进行半离散化，将其转化为初值问题（IVPs）系统。
• 应用标准数值ODE求解器对所得IVPs进行积分，实现最优轨迹的实际计算。
• 通过将终端约束的动力学直接嵌入演化框架，避免求解两点边值问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有终端约束的最优控制问题重新表述为向平衡点演化的动力系统？
• RQ2 在保持收敛至最优解的前提下，能否从最优性条件中消除协态变量？
• RQ3 控制变分演化趋向最优性的演化偏微分方程（EPDE）的形式是什么？
• RQ4 如何使用标准ODE积分方法将EPDE半离散化为可解的初值问题？
• RQ5 在不显式计算协态变量的情况下，终端约束的拉格朗日乘子与状态和控制变量之间的关系是什么？

主要发现

• 所提出的方法成功地利用无协态最优性框架，对具有终端约束的最优控制问题进行了公式化。
• 推导出与终端约束相关的拉格朗日乘子的显式解析表达式，其形式仅依赖于状态和控制变量。
• 演化偏微分方程（EPDE）提供了一个稳定且渐近的动力系统，能够演化至最优解。
• EPDE的半离散化将其转化为可用标准ODE数值方法求解的有限维初值问题（IVP）。
• 该方法避免了求解两点边值问题，简化了计算过程。
• 该方法通过理论推导得到验证，且与现有的数值PDE和ODE求解器兼容。