[论文解读] Computation Of Some Zamolodchikov Volumes, With An Application

Gregory W. Moore|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 5

一句话总结

该论文使用Narain模空间技术和拟模形式，计算了目标空间为K3、T4及其对称积的二维共形场论的Zamolodchikov体积。结果表明，从这些系综中选取的此类CFT序列几乎从不具有弱耦合引力全息对偶，通过配分函数的渐近分析确立了测度为零的结果。

ABSTRACT

We compute the Zamolodchikov volumes of some moduli spaces of conformal field theories with target spaces K3, T4, and their symmetric products. As an application we argue that sequences of conformal field theories, built from products of such symmetric products, almost never have a holographic dual with weakly coupled gravity.

研究动机与目标

• 计算目标空间为K3、T4及其对称积的二维CFT的模空间Zamolodchikov体积。
• 分析此类CFT序列具有弱耦合引力全息对偶的统计可能性。
• 通过配分函数的渐近行为，将[5]中的测度为零论证扩展至对称积CFT。
• 在一般情况下，精确建立Zamolodchikov体积的有限性与全息对偶缺失之间的联系。

提出的方法

• 利用(1,1)算符相关函数导出的规范归一化，计算Narain模空间上的Zamolodchikov度量。
• 利用双陪集结构 ${\cal N}_{r+8s,r} = O_{{\mathbb{Z}}}(Q_{r,s})\backslash O_{{\mathbb{R}}}(Q_{r,s}) / (O(r+8s) \times O(r))$ 参数化模空间。
• 对高斯模型应用度量迹公式 $ds^2_Z = \frac{1}{(2\pi)^2} \left( \frac{dK}{K} \right)^2$ 以推导归一化。
• 使用拟模形式和对称积 $S^m X$ 的椭圆亏格生成函数，提取极值极点系数。
• 通过分析配分函数 $\xi(s;M)/\xi(0;M) \sim (c\sqrt{M})^{-s\bar{k}(M)}$ 的渐近增长，确定 $H_\ell(s)$ 的行为。
• 对配分和 $\sum_{j=0}^M p(j)p(M-j)$ 使用鞍点近似，以证明 $X = K3$ 或 $T4$ 时的普遍渐近标度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称积CFT $S^m K3$ 和 $S^m T4$ 的模空间Zamolodchikov体积是多少？
• RQ2 此类CFT的通用序列是否具有弱耦合引力全息对偶？
• RQ3 配分函数的渐近增长如何与全息对偶的存在性相关？
• RQ4 是否可以将全息对偶的测度为零论证从单个CFT扩展到对称积理论的系综？
• RQ5 拟模形式在确定 $S^m T4$ 的极值极点系数中起什么作用？

主要发现

• Narain模空间 ${\cal N}_{2,2}$ 的Zamolodchikov体积被显式计算为 $\frac{4\pi^4}{9}$，证实了通用公式。
• 对称积 $S^m T4$ 的椭圆亏格的极值极点系数为 $\mathfrak{e}(S^m T4) = m+1$，由生成函数中的 $q^0$ 项导出。
• 对于 $X = K3$ 或 $T4$ 的对称积CFT，$\xi(s;M)/\xi(0;M)$ 的渐近行为呈 $\sim (c\sqrt{M})^{-s\bar{k}(M)}$ 标度，表明存在普遍标度。
• 通过渐近分析确立了极限 $H_\ell(s) = \chi(s)$，表明具有弱耦合全息对偶的CFT序列集合的测度为零。
• 分析证实，此类CFT序列几乎从不具有弱耦合引力对偶，将[5]的结果扩展至对称积构造。
• 对 $S^m K3$ 和 $S^m T4$ 的体积计算与模空间有限性及全息不可对偶性的普遍框架一致。