[论文解读] Computation of Transmission Eigenvalues for Elastic Waves

Xia Ji, Peijun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的数值方法，用于计算弹性波的最小实数传输特征值，这是一个具有挑战性的非线性且非自伴的四阶问题。通过将特征值问题重新表述为一个非线性函数，其根对应于传输特征值，并利用 H²-一致的有限元方法求解自伴子问题，该方法采用弦截法（secant iteration）计算根，已证明其收敛性，并通过混合有限元方法进行验证。这是对弹性波传输特征值的首次全面数值研究。

ABSTRACT

The goal of this paper is to develop numerical methods computing a few smallest elasticity transmission eigenvalues, which are of practical importance in inverse scattering theory. The problem is challenging since it is nonlinear, non-self-adjoint, and of fourth order. We construct a nonlinear function whose values are generalized eigenvalues of a series of self-adjoint fourth order problems. The roots of the function are the transmission eigenvalues. Using an $H^2$-conforming finite element for the self-adjoint fourth order eigenvalue problems, we employ a secant method to compute the roots of the nonlinear function. The convergence of the proposed method is proved. In addition, a mixed finite element method is developed for the purpose of verification. Numerical examples are presented to verify the theory and demonstrate the effectiveness of the two methods.

研究动机与目标

• 开发有效的数值方法，用于计算弹性波的最小实数传输特征值，这些特征值在反散射问题中对材料性质估计至关重要。
• 解决在弹性波传输中出现的非线性、非自伴四阶特征值问题的数值求解挑战。
• 构建一个非线性函数 F(ω)，使其根恰好对应于传输特征值，从而可通过迭代求解器实现根的查找。
• 通过混合有限元方法验证结果，确保数值结果的可靠性。
• 为弹性波传输特征值问题提供一个收敛且鲁棒的计算框架，该主题此前尚未在数值上被系统研究。

提出的方法

• 将弹性波传输特征值问题重新表述为四阶偏微分方程形式的二次特征值问题。
• 构造一个非线性函数 F(ω)，使得其根即为传输特征值，其中 F(ω) 定义为一个自伴四阶问题的广义特征值。
• 使用 H²-一致的 Argyris 有限元对自伴四阶特征值问题进行离散化，以确保稳定性和精度。
• 应用基于弦截法的迭代方法计算 F(ω) 的根，利用 F(ω) 是强椭圆自伴问题广义特征值的性质。
• 开发一种使用拉格朗日元的混合有限元方法，作为验证工具，用于交叉验证主方法的结果。
• 仔细实现边界条件的强制处理，通过切向和法向导数，确保与边界上的无应力和零位移条件一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何克服弹性波传输特征值问题的非线性和非自伴性，以实现数值计算？
• RQ2 在弹性波散射中，计算最小实数传输特征值的有效且收敛的有限元方法是什么？
• RQ3 能否构造一个非线性函数，使其根恰好对应于传输特征值，从而可利用标准迭代求解器进行根的查找？
• RQ4 如何通过另一种有限元格式验证计算得到的特征值的准确性和可靠性？
• RQ5 当将所提出的基于弦截法的迭代方法应用于重构后的广义特征值问题时，其收敛行为如何？

主要发现

• 所提出的方法成功地利用基于弦截法的根查找技术，计算了弹性波的最小实数传输特征值，该方法基于从自伴四阶特征值问题导出的非线性函数。
• 在非线性函数 F(ω) 在根附近连续且严格递增的假设下，严格证明了弦截法的收敛性。
• H²-一致的 Argyris 有限元方法为自伴四阶特征值问题提供了稳定且精确的离散化，从而实现了广义特征值的可靠计算。
• 数值实验验证了理论收敛速率，并在多种几何形状和材料参数下展示了该方法的鲁棒性和准确性。
• 使用拉格朗日元的混合有限元方法提供了一条可靠的验证路径，其计算得到的特征值与主方法结果高度一致。
• 复平面上 |Z₀(ω)| 的轮廓图显示，在圆形曲线的中心存在传输特征值，这与径向对称情况下的解析解一致，验证了数值结果的正确性。