[论文解读] Computational and analytical studies of the Randić index in Erdös-Rényi models

C. T. Martínez-Martínez, J. A. Méndez‐Bermúdez+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2020

Graph theory and applications参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文对 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 中的 Randić 指数进行了计算与分析研究，表明归一化的 Randić 指数 $\langle \overline{R}(G) \rangle = \langle R(G) \rangle / (n/2)$ 随 $\xi \approx np$ 实现普遍缩放，揭示了三个不同区域：孤立顶点（$\xi < 0.01$）、过渡相（$0.01 < \xi < 10$）和近乎完全图（$\xi > 10$）。研究推导了 Randić 指数与其他拓扑指标之间的解析不等式，并刻画了这些关系的极值图。

ABSTRACT

In this work we perform computational and analytical studies of the Randić index $R(G)$ in Erdös-Rényi models $G(n,p)$ characterized by $n$ vertices connected independently with probability $p \in (0,1)$. First, from a detailed scaling analysis, we show that $\left\langle \overline{R}(G) ight angle = \left\langle R(G) ight angle/(n/2)$ scales with the product $ξ\approx np$, so we can define three regimes: a regime of mostly isolated vertices when $ξ&lt; 0.01$ ($R(G)\approx 0$), a transition regime for $0.01 &lt; ξ&lt; 10$ (where $0 10$ ($R(G)\approx n/2$). Then, motivated by the scaling of $\left\langle \overline{R}(G) ight angle$, we analytically (i) obtain new relations connecting $R(G)$ with other topological indices and characterize graphs which are extremal with respect to the relations obtained and (ii) apply these results in order to obtain inequalities on $R(G)$ for graphs in Erdös-Rényi models.

研究动机与目标

• 理解 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 中 Randić 指数 $R(G)$ 的统计行为。
• 识别控制不同图大小与连接概率下平均 Randić 指数的普遍缩放参数。
• 推导 Randić 指数与其他基于顶点度的拓扑指标之间的解析关系。
• 刻画在这些推导不等式中达到边界值的极值图。
• 利用基于度的图性质，在 Erdős-Rényi 模型中建立 $R(G)$ 的严格不等式。

提出的方法

• 对不同 $n$ 和 $p$ 的 $G(n,p)$ 进行超过 2000 次实现的大规模计算模拟，以计算 $\langle R(G) \rangle$。
• 通过 $n/2$ 对 $R(G)$ 进行归一化，定义 $\langle \overline{R}(G) \rangle$，从而实现以 $\xi = np$ 为基准的普遍缩放分析。
• 对顶点度 $\delta$ 和 $\Delta$ 进行极值分析，以反度指数 $ID(G)$ 的形式推导 $R(G)$ 的边界。
• 利用集中不等式与概率度界（如 $\delta \approx pn - O(\sqrt{n \log n})$）推导 $R(G)/ID(G)$ 的渐近表达式。
• 通过凸性与对称性论证，推导 Randić 指数与 $(-2)$-和连通性指数及失衡指数之间的解析不等式。
• 在 $p \in [1/2, 1)$ 条件下将结果应用于 Erdős-Rényi 模型，利用度集中性以高概率界定 $R(G)/ID(G)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 控制 $G(n,p)$ 中平均 Randić 指数 $\langle R(G) \rangle$ 的普遍缩放参数是什么？
• RQ2 当 $p$ 变化时，Randić 指数如何在不同图区域（孤立、中间、完全）之间过渡？
• RQ3 Randić 指数与其他基于顶点度的拓扑指标之间存在何种解析关系？
• RQ4 哪些图在推导出的 $R(G)$ 与其他指标之间的不等式中达到极值？
• RQ5 能否利用度集中性在 Erdős-Rényi 模型中为 $R(G)$ 建立紧密的概率界？

主要发现

• 归一化的 Randić 指数 $\langle \overline{R}(G) \rangle = \langle R(G) \rangle / (n/2)$ 随 $\xi \approx np$ 实现普遍缩放，确立 $\xi$ 为关键控制参数。
• 当 $\xi < 0.01$ 时，由于图中多为孤立顶点，$R(G) \approx 0$；当 $\xi > 10$ 时，图趋于近乎完全，$R(G) \approx n/2$。
• 在过渡区域 $0.01 < \xi < 10$ 中，$0 < R(G) < n/2$，表明图从稀疏到稠密的平滑演化。
• 本文推导出不等式 $R(G) \geq \min\left\{ \frac{\delta}{2}, \frac{\Delta^{3/2} \delta^{3/2}}{\Delta^2 + \delta^2} \right\} \cdot ID(G)$，当图是正则或双正则图时取等。
• 对于 $p \in [1/2, 1)$ 的 Erdős-Rényi 图，$\frac{R(G)}{ID(G)}$ 满足不等式：$\min\left\{ \frac{q}{2}, \frac{(pq)^{3/2}}{p^2 + q^2} \right\} n + O((n \log n)^{1/2}) \leq \frac{R(G)}{ID(G)} \leq \frac{p}{2} n + O((n \log n)^{1/2})$，且以高概率成立。
• Randić 矩阵的谱性质也被发现对固定的 $\xi$ 是普遍的，与 $n$ 和 $p$ 的具体取值无关。