[论文解读] Computational Higher Type Theory II: Dependent Cubical Realizability

Carlo Angiuli, Robert Harper|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文将立方实现实现扩展至依赖的高维类型理论，引入一种计算语义解释，支持依赖函数类型与对类型、等式类型以及路径上的协变。其主要贡献是证明了一个正规化定理，表明闭合布尔类型项可确定性地归约至真或假，从而建立了首个具备完整计算行为的高阶依赖类型理论的操作语义。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers extending Martin-Löf's meaning explanation of dependent type theory to account for higher-dimensional types. We build on the cubical realizability framework for simple types developed in Part I, and extend it to a meaning explanation of dependent higher-dimensional type theory. This extension requires generalizing the computational Kan condition given in Part I, and considering the action of type families on paths. We define identification types, which classify identifications (paths) in a type, and dependent function and pair types. The main result is a canonicity theorem, which states that a closed term of boolean type evaluates to either true or false. This result establishes the first computational interpretation of higher dependent type theory by giving a deterministic operational semantics for its programs, including operations that realize the Kan condition.

研究动机与目标

• 将立方实现实现框架从简单类型扩展至依赖的高维类型理论。
• 为具有路径和高维结构的依赖类型形式化一种计算语义解释。
• 将Kan合成操作推广至处理类型族和维度变量上的等式约束。
• 在存在高维类型和依赖构造的前提下，建立布尔类型正规化。
• 为高阶依赖类型理论提供一种确定性操作语义，包括Kan条件的实现实现。

提出的方法

• 将第一部分中的计算Kan条件推广，以支持索引于路径的类型族。
• 引入等式类型，用于对路径进行分类，从而在依赖类型中支持基于路径的推理。
• 将维度上下文的概念扩展，以包含维度变量之间的等式约束。
• 通过类型线定义路径上的协变，特别处理 0→1（传输）和自协变的情形。
• 在立方类型系统上构造一个不动点算子，以在同构-无反演类型下闭包。
• 通过增强实现实现以支持高维结构和合成约束，证明依赖函数类型和对类型在该框架下的封闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 立方实现实现如何扩展以支持高维类型理论中的依赖类型？
• RQ2 为处理类型族和路径索引的实例，Kan合成操作需要做出哪些修改？
• RQ3 在具有路径和高维单元的计算框架中，等式类型如何被有意义地解释？
• RQ4 在具有路径依赖类型的立方设定下，依赖函数类型和对类型的计算行为是什么？
• RQ5 能否为高阶依赖类型理论提供一种确定性操作语义，以确保布尔类型的正规化？

主要发现

• 本文建立了正规化定理：任何闭合布尔类型项都可确定性地归约至真或假。
• 通过建模索引于路径的类型族实例之间的连线，实现实现支持依赖函数类型和对类型。
• 等式类型被定义为对类型中路径的分类，其计算解释支持基于路径的推理。
• Kan合成操作被推广以支持额外的管状面和维度变量上的等式约束，从而在依赖上下文中实现合成。
• 通过在立方类型系统上构造不动点，该框架支持同构-无反演类型，确保在这些类型下的封闭性。
• 证明理论通过代表性规则的显式推导得到验证，表明形式立方类型理论（例如，Cohen 等，2016）在该框架内是有效的。