[论文解读] Computer algebra tools for Feynman integrals and related multi-sums

J. Blümlein, Carsten Schneider|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 46被引用 1

一句话总结

本文提出了一套全面的计算机代数工具——在 Mathematica 包如 Sigma、SumProduction 和 SolveCoupledSystem 中实现——用于简化量子场论中的费曼积分及相关多重求和。该方法结合了符号积分、梅林-巴恩斯变换、递推求解与符号求和，将复杂的圈积分和耦合微分系统约化为不定嵌套求和与特殊函数的表达式，从而实现高达三圈的高精度 QCD 计算。

ABSTRACT

In perturbative calculations, e.g., in the setting of Quantum Chromodynamics (QCD) one aims at the evaluation of Feynman integrals. Here one is often faced with the problem to simplify multiple nested integrals or sums to expressions in terms of indefinite nested integrals or sums. Furthermore, one seeks for solutions of coupled systems of linear differential equations, that can be represented in terms of indefinite nested sums (or integrals). In this article we elaborate the main tools and the corresponding packages, that we have developed and intensively used within the last 10 years in the course of our QCD-calculations.

研究动机与目标

• 开发并系统化用于简化量子场论中多圈费曼积分的计算机代数工具。
• 解决将费曼积分的庞大复杂表达式约化为适合符号计算的紧凑形式的挑战。
• 通过嵌套求和与特殊函数，实现对多圈振幅的 ε 展开的高效计算。
• 通过符号求和与递推求解，处理由分部积分约化产生的耦合线性微分方程组。
• 利用大矩量方法与递推求解器，支持 QCD 中高多重性与高矩量的计算。

提出的方法

• 应用符号积分与梅林-巴恩斯分解，将费曼参数积分转化为多重嵌套求和。
• 使用递推求解技术，将超几何多重求和简化为不定嵌套求和的表达式。
• 利用 SumProduction 包将大量分散的求和合并并约化为紧凑且可简化形式。
• 利用 SolveCoupledSystem 包求解由分部积分约化产生的耦合线性微分方程组。
• 实现大矩量方法，通过线性时间递推计算高效计算矩量序列。
• 集成渐近展开与极限算法，评估嵌套求和表达式在大 n 时的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将 QCD 中的多圈费曼积分约化为不定嵌套求和与特殊函数的表达式？
• RQ2 哪些符号计算策略能够实现由分部积分恒等式导出的耦合线性微分方程组的简化？
• RQ3 如何将大量分散的多重求和合并并约化为适合符号求和的形式？
• RQ4 哪些计算技术可实现 QCD 振幅中高多重性矩量的高效评估？
• RQ5 当主积分满足耦合微分方程时，如何可靠地计算其 ε 展开？

主要发现

• 该方法成功实现了 QCD 中三圈分裂函数的首次符号求和与递推求解重新计算。
• 大矩量方法通过线性时间递推计算，实现了对物理振幅高达 8000 个矩量的高效计算。
• SumProduction 与 Sigma 的集成使得原本因组合爆炸而难以处理的复杂多重求和表达式得以简化。
• 该方法通过分部积分恒等式将数千个独立费曼积分约化为最小数量的主积分。
• 符号求和工具即使在单个求和无法约化但其组合可约化时，仍能实现对超几何多重求和的可靠简化。
• 该框架支持对三圈振幅的 ε 展开至 r = 2 阶的洛朗级数展开，其系数以特殊函数与常数表示。