[论文解读] Computing A1-Euler numbers with Macaulay2

Sabrina Pauli|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 6

一句话总结

本论文在Macaulay2中提出了一套计算框架，用于计算格拉斯曼流形上向量丛的A¹欧拉数，方法是利用格罗滕迪克-惠特环GW(k)中的丰富计数。通过计算雅可比行列式和迹形式的局部A¹度数，该方法为Sym³S*→Gr(2,4)的A¹欧拉数在Q和F_p上提供了新的证明，结果为15⟨1⟩+12⟨−1⟩。该方法还可用于显式计算富克斯型奇点的A¹-Milnor数。

ABSTRACT

We use Macaulay2 for several enriched counts in GW(k). First, we compute the count of lines on a general cubic surface using Macaulay2 over Fp in GW(Fp) for p a prime number and over the rational numbers Q in GW(Q). This gives a new proof for the fact that the count of lines on a cubic surface is 3+12h in GW(k) where h denotes the hyperbolic form. Then, we compute the count of lines in P3 meeting 4 general lines, the count of lines on a quadratic surface meeting one general line and the count of singular elements in a pencil of degree d-surfaces. Finally, we provide code to compute the EKL-form and compute several A1-Milnor numbers.

研究动机与目标

• 使用Macaulay2对Q和F_p上的向量丛Sym³S*→Gr(2,4)的A¹欧拉数提供计算性证明。
• 展示如何通过有限域和数域上的局部A¹度数与迹形式，计算GW(k)中的丰富计数。
• 将该方法扩展至其他几何计数问题，如P³中与四条一般直线相交的直线数，以及二次曲面上的直线数。
• 使用EKL形式计算富克斯型奇点的A¹-Milnor数，并通过Macaulay2验证结果。

提出的方法

• 使用Macaulay2计算Gr(2,4)的仿射开子集上截面σ_F的雅可比行列式，该子集对应于P³中的直线。
• 对每个截面的零点（即三次曲面上的直线）计算其局部A¹度数，方法为在剩余域中取雅可比行列式的迹。
• 通过在GW(F_j)中求和这些迹形式，再经由迹映射提升至GW(k)，构造A¹欧拉数。
• 在F_p上，计算所得形式的秩与判别式，以确定其在GW(F_p)中的类。
• 在Q上，计算该形式的格拉姆矩阵并评估其符号差，以确定实欧拉数。
• 利用Witt值特征类理论与EKL形式，计算奇点的A¹-Milnor数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Q和F_p上，向量丛Sym³S*→Gr(2,4)的A¹欧拉数是多少？能否通过Macaulay2实现算法化计算？
• RQ2 GW(k)中的丰富计数是否可用于在GW(k)中恢复三次曲面上经典27条直线的带符号计数？
• RQ3 如何利用EKL形式与Macaulay2计算超曲面奇点的A¹-Milnor数？
• RQ4 对应于P³中与四条一般直线相交的直线数的向量丛⨁_{i=1}^4 ∧²S*→Gr(2,4)的A¹欧拉数具有何种结构？
• RQ5 该方法能否区分A¹欧拉数分类中类型(2)与(3)的形式？

主要发现

• 在F_32003上，Sym³S*→Gr(2,4)的A¹欧拉数被计算为秩为27、判别式为1的形式，确认其在GW(F_32003)中为15⟨1⟩+12⟨−1⟩。
• 在Q上，A¹欧拉数的符号差为3，秩为27，且由于2在Q中不是完全平方数，该形式必为15⟨1⟩+12⟨−1⟩，从而为[KW17]中的结果提供了新证明。
• 通过在GW(F_11)中计算⨁_{i=1}^4 ∧²S*→Gr(2,4)的e^A¹，得到与四条一般直线相交的直线计数：1条有理直线、1个二次扩张和3个八次扩张。
• 富克斯型奇点的A¹-Milnor数已计算并列出，例如μ^A¹(E_12) = 6H，μ^A¹(Z_11) = 5H + ⟨−6⟩。
• 该方法成功计算了多个奇点的EKL形式与迹形式，且提供了可复现的Macaulay2代码。
• 在F_11上的计算表明，局部度数对应于1次、2次和8次扩张，与直线计数的几何分解一致。