[论文解读] A^1-Euler classes: six functors formalisms, dualities, integrality and linear subspaces of complete intersections

Tom Bachmann, Kirsten Wickelgren|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 55被引用 18

一句话总结

本文建立了代数向量丛的 A¹-Euler 类的多种定义之间的等价性，统一了源自凝聚对偶、Poincaré-Hopf 理论以及 Scheja-Storch 局部指标的方法。证明了这些 Euler 类在 Grothendieck-Witt 群中的整性，并利用实数与复数上的拓扑 Euler 示性数，计算了在完全交上线性子空间的算术计数。

ABSTRACT

We equate various Euler classes of algebraic vector bundles, including those of [BM, KW, DJK], and one suggested by M.J. Hopkins, A. Raksit, and J.-P. Serre. We establish integrality results for this Euler class, and give formulas for local indices at isolated zeros, both in terms of 6-functor formalism of coherent sheaves and as an explicit recipe in commutative algebra of Scheja and Storch. As an application, we compute the Euler classes associated to arithmetic counts of d-planes on complete intersections in P^n in terms of topological Euler numbers over R and C.

研究动机与目标

• 统一 A¹-Euler 类的不同定义，包括来自凝聚对偶、Poincaré-Hopf 理论以及 Scheja-Storch 局部指标的定义。
• 在域 k 及更一般的基概形上，建立 A¹-Euler 类在 Grothendieck-Witt 群 GW(k) 中的整性。
• 通过六函子形式化与交换代数方法，提供孤立零点处局部指标的显式公式。
• 将该理论应用于计算射影空间中完全交上 d 维线性子空间的算术计数。
• 通过 KO-理论中的丰富 Euler 示性数，将这些算术计数与实数和复数上的拓扑 Euler 数联系起来。

提出的方法

• 使用凝聚层的六函子形式化，在不同上同调理论之间定义并比较 Euler 类。
• 应用凝聚对偶，构造迹映射 η_f: H^n(X, ω_{X/k}) → k，从而定义 Grothendieck–Serre 对偶性 Euler 数。
• 利用 Scheja–Storch 公式计算具有孤立零点的截面的局部指标，将其表达为 GW(k) 中的类。
• 通过线丛 L 与同构 ρ: det V ⊗ ω_{X/k} → L^{⊙ 2} 引入相对定向，从而在 GW(k) 中定义 Euler 类。
• 利用 motivic 上同调与框架对应中的 Euler 数哲学，将 A¹-Euler 类与 KO-理论联系起来。
• 将该理论应用于 Grassmannian 与完全交，通过对称幂与算术计数计算 Euler 数。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过凝聚对偶、Poincaré-Hopf 理论以及 Scheja-Storch 局部指标定义的 A¹-Euler 类之间有何关系？
• RQ2 在 Grothendieck-Witt 群 GW(k) 中，A¹-Euler 类的整性由什么条件保证？
• RQ3 能否通过交换代数与六函子形式化，显式计算具有孤立零点的截面的局部指标？
• RQ4 A¹-Euler 类如何用于计算射影空间中完全交上线性子空间的算术计数？
• RQ5 GW(k) 中的丰富 Euler 示性数与实数和复数上的拓扑 Euler 数之间有何关系？

主要发现

• 对于光滑、完备的 k-概形 X（维数为 n）与具有孤立零点的相对定向向量丛 V 及其截面 σ，Poincaré-Hopf Euler 数 n^PH(V,σ) 与 Grothendieck–Serre 对偶性 Euler 数 n^GS(V) 相等。
• A¹-Euler 类在 GW(k) 中是整的，其在 W(k) = GW(k)/J 中的像为 n·h，其中 h 为双曲形式，J 是由代谢形式生成的理想。
• 对于满足 k(x) = k 的简单零点 x，局部指标为 ⟨Jac σ(x)⟩，即由 σ 的雅可比行列式确定的秩一双线性型。
• 该理论计算了参数化完全交中 d-平面的 Grassmannian 上典范丛的 Euler 类，将其表达为局部指标之和。
• 在 P^n 中的完全交上 d-平面的算术计数可表示为 GW(k) 中局部指标之和，其值与复数上的拓扑 Euler 数及实数上的 Euler 示性数一致。
• A¹-Euler 类在 KO-理论中的像由实数与复数上的拓扑 Euler 数决定，从而将 motivic 不变量与拓扑不变量联系起来。