[论文解读] Computing automorphism groups of shifts using atypical equivalence classes
本文提出了一种算法，用于计算原始常长度替换移位的双边自同构群，利用非典型等价类和计数器算术。证明了在一大类移位中，包括具有重合与高度一的移位，此类群为循环群，并将该方法扩展以计算两个此类移位之间的共轭关系。
We study the automorphism group of an infinite minimal shift $(X,σ)$ such that the complexity difference function, $p(n+1)-p(n)$, is bounded. We give some new bounds on $\mbox{Aut}(X,σ)/\langle σ angle$ and also study the one-sided case. For a class of Toeplitz shifts, including the class of shifts defined by constant length primitive substitutions with a coincidence and with height one, we show that the two-sided automorphism group is a cyclic group. We next focus on shifts generated by primitive constant length substitutions. For these shifts, we give an algorithm that computes their two-sided automorphism group, As a corollary we describe how to compute the set of conjugacies between two such shifts.
研究动机与目标
- 开发一种算法，用于计算原始常长度替换移位的双边自同构群。
- 证明在具有重合与高度一的移位中，自同构群为循环群，包括许多Toeplitz移位。
- 将该方法扩展，以计算两个此类移位之间的拓扑共轭集合。
- 利用来自最大等度连续因子的指纹不变量，提供自同构群结构的构造性界。
- 解决在亚线性复杂度移位中自同构群计算的计算可行性问题，重点关注替换系统。
提出的方法
- 使用最大等度连续因子（即计数器）为每个自同构定义一个 $\mathbb{Z}_r$ 中的“指纹”，以缩小搜索空间。
- 应用计数器的算术性质，将可能的指纹限制为分母较小的有理数。
- 引入可检验条件（通过命题 3.19 和 3.21）以验证候选指纹是否对应实际自同构。
- 利用列数 $c$ 和指纹的周期性，推导共轭映射的递推关系。
- 通过有界半径的块映射（例如 $\Phi^f_{1,0}$）构造共轭映射，并使用高阶迭代的替换动力学验证一致性。
- 利用 $\kappa(\Phi) = k/(1 - r^p)$ 对于 $0 < k < r^p - 1$ 的事实，刻画可能的共轭关系并实现验证自动化。
实验结果
研究问题
- RQ1原始常长度替换移位的自同构群能否被算法计算？
- RQ2在何种条件下自同构群为循环群，特别是对于具有重合与高度一的移位？
- RQ3定义两个此类移位之间拓扑共轭的块映射的必要与充分条件是什么？
- RQ4如何利用计数器因子中的指纹不变量来约束和分类自同构？
- RQ5对于亚线性复杂度移位，商群 $\mbox{Aut}(X,\sigma)/\langle\sigma\rangle$ 的结构是什么，以及如何对其进行有界？
主要发现
- 具有重合与高度一的原始常长度替换移位的双边自同构群为循环群。
- 提供了一种算法，用于计算此类移位的 $\mbox{Aut}(X_\theta, \sigma)$，其基于 $\mathbb{Z}_r$ 中的指纹约束。
- 对于具有纯离散谱的移位（即具有重合的移位），自同构群由移位和可能的字母交换自同构生成。
- 通过有界半径的块映射，可以算法化地确定两个原始常长度替换移位之间的共轭集合。
- 共轭 $\Phi$ 的指纹 $\kappa(\Phi)$ 必须为形如 $k/(1 - r^p)$ 的有理数，其中 $0 < k < r^p - 1$，且在替换迭代下满足递推条件。
- 此类移位的单边自同构群是平凡的，这由计数器的算术性质以及不存在非平凡单边自同构所证明。
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