[论文解读] Computing the Degenerate Ground Space of Gapped Spin Chains in Polynomial Time

Christopher T. Chubb, Steven T. Flammia|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Matrix Theory and Algorithms被引用 10

一句话总结

该论文提出了一种多项式时间算法，用于计算近似表示非简并基态投影算符的矩阵乘积态正交基。在Landau-Vazirani-Vidick框架基础上，通过引入对半链上基态的局部可区分性，将非简并情形扩展至简并情形，确保完备性，实现在任意Schatten范数下误差为反多项式，且运行时间在系统尺寸上为多项式、在简并度上为指数。

ABSTRACT

Given a gapped Hamiltonian of a spin chain, we give a polynomial-time algorithm for finding the degenerate ground space projector. The output is an orthonormal set of matrix product states that approximate the true ground space projector up to an inverse polynomial error in any Schatten norm, with a runtime exponential in the degeneracy. Our algorithm is an extension of the recent algorithm of Landau, Vazirani, and Vidick for the nondegenerate case, and it includes the recent improvements due to Huang. The main new idea is to incorporate the local distinguishability of ground states on the half-chain to ensure that the algorithm returns a complete set of global ground states.

研究动机与目标

• 开发一种严格且高效的算法，用于近似有能隙一维自旋链的简并基态空间。
• 将Landau、Vazirani和Vidick的非简并基态多项式时间算法扩展至简并情形。
• 通过利用半链上的局部可区分性，确保算法返回全局基态的完整正交基。
• 在系统尺寸上保持多项式运行时间，同时处理常数阶简并度和能隙。
• 在Schatten范数（包括Frobenius范数和迹范数）下提供近似误差的理论保证。

提出的方法

• 通过引入半链上基态的局部可区分性，将非简并LVV算法中的可行集构造方法扩展至简并情形。
• 利用能量约束和见证态之间的重叠最小化来修剪可行集，同时保持近似精度。
• 采用矩阵乘积态（MPS）表示近似基态，确保张量秩为多项式有界。
• 构建一种基于态的近似基态投影算符（AGSP），其为最小秩投影算符，且作为矩阵乘积算符（MPO）时张量秩多项式有界。
• 采用多轮迭代过程，从半链逐步扩展至全链，在每一步保持少量候选态。
• 依赖一维面积律和能隙，确保基态可由低张量秩MPS良好近似，从而实现高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将非简并有能隙自旋链的多项式时间基态近似算法扩展至简并情形？
• RQ2 如何利用半链上基态的局部可区分性，确保恢复全局基态的完整正交基？
• RQ3 在简并情形下，近似基态投影算符（AGSP）的最小秩和张量秩为何？能否高效构造？
• RQ4 与非简并情形相比，简并情形下运行时间如何随简并度和能隙变化？
• RQ5 算法能否在不需预先知道确切简并度g的情况下保持鲁棒性，仅要求g = O(1)？

主要发现

• 该算法构造了一组正交的矩阵乘积态，其对真实基态投影算符的Frobenius范数误差不超过η，其中η为系统尺寸n的反多项式。
• 运行时间为n^O(1)，在系统尺寸n上为多项式，且在简并度g上呈指数依赖，g被假设为常数。
• 迹范数下的近似误差被限制为O(√g)倍的Frobenius范数误差，由于g为常数，该误差仍为反多项式。
• 通过在半链上强制实施局部可区分性，该方法确保了基态基的完备性，这是对先前方法的关键创新。
• 该算法对未知简并度具有鲁棒性：仅需g = O(1)，无需显式上界，优于某些竞争方法。
• 所得AGSP为最小秩投影算符，其作为MPO时张量秩多项式有界，从而可高效估计MPO可观测量的期望值。