[论文解读] Computing the Extreme Points of Tropical Polyhedra

Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 34被引用 15

一句话总结

本文提出了一种高效算法，用于计算由最大-加法不等式定义的热带多面体的所有极值点。通过将极值性检查问题转化为紧凑霍恩公式最小模型的计算，该方法实现了一种新颖的双描述方法，能够事先消除冗余生成元，从而在理论和实践上均显著优于先前的算法。

ABSTRACT

We present an efficient algorithm to compute all the extreme elements of a max-plus or tropical polyhedron. This algorithm relies on a combinatorial characterization of these extreme elements, when the polyhedron is defined by inequalities. We show that checking the extremality of an element of such a polyhedron reduces to computing the least model of a compact Horn formula, the latter being a factorized representation of a Horn formula. This allows us to develop an analogue of Motzkin’s double description method in which redundant generators are eliminated a priori. We give theoretical bounds and experimental results showing that the algorithm outperforms the previous ones.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于计算最大-加法或热带多面体的所有极值点。
• 为由不等式定义的热带多面体中的极值元素提供组合表征。
• 将检查极值性的难题转化为紧凑霍恩公式的最小模型计算问题。
• 实现一种变体的莫茨金双描述方法，可预先消除冗余生成元。
• 在理论和实验上均实现对现有计算热带多面体极值点算法的改进。

提出的方法

• 该算法使用由最大-加法不等式定义的热带多面体中极值元素的组合表征。
• 将候选点的极值性检查问题转化为紧凑霍恩公式表示的最小模型问题求解。
• 紧凑霍恩公式是来自多面体不等式的霍恩公式的因式分解形式。
• 该方法应用一种改进的双描述方法，使冗余生成元在生成前即被过滤掉。
• 该方法利用热带多面体与霍恩逻辑之间的对偶性，确保正确性与效率。
• 理论界和实验评估验证了该方法相较于先前方法的性能提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 当由最大-加法不等式定义时，如何对热带多面体的极值点进行组合表征？
• RQ2 能否将热带多面体中候选点的极值性检查问题归约为已知的计算逻辑问题？
• RQ3 在热带多面体计算中，能在多大程度上事先消除冗余生成元？
• RQ4 所提出的算法在性能上与现有计算热带多面体极值点的算法相比如何？
• RQ5 该新算法在可扩展性和正确性方面的理论与实际边界是什么？

主要发现

• 通过事先消除冗余生成元，该算法在性能上显著优于先前方法。
• 极值性检查可归约为紧凑霍恩公式的最小模型计算，从而实现高效计算。
• 该方法提供了一种新颖的莫茨金双描述方法变体，可避免生成冗余元素。
• 理论界表明，与早期方法相比，其复杂度得到改善。
• 实验结果证实，该算法在运行时间和可扩展性方面均优于现有技术。
• 该方法建立了热带多面体与霍恩逻辑之间的强关联，为算法设计提供了新见解。