[论文解读] Computing the independence polynomial in Shearer's region for the LLL.

Nicholas J. A. Harvey, Piyush Srivastava+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 33被引用 10

一句话总结

该论文提出了一种确定性算法，可在洛瓦兹局部大数定律（LLL）的谢雷区域内的复向量上，以 (1+ε) 的乘法误差近似多元独立多项式，对于最大度数为 d 且 α ∈ (0,1] 的 n 个顶点的图，其运行时间为 (n/(εα))^{O(log d / α)}。该方法可扩展至连通常数有界的图，并建立了对 ε、α 和 d 的紧密运行时间依赖关系。

ABSTRACT

The independence polynomial has been widely studied in algebraic graph theory, in statistical physics, and in algorithms for counting and sampling problems. Seminal results of Weitz (2006) and Sly (2010) have shown the that the computational complexity of approximating the independence polynomial with positive activities is tightly linked to a uniqueness phase transition for a Gibbs measure. We study algorithms for approximating the independence polynomial with negative and complex arguments. The independence polynomial with complex arguments may not have a counting interpretation, but it does have strong connections to combinatorics and to statistical physics. The independence polynomial with negative arguments determines the maximal region of probabilities to which the Lov\'{a}sz Local Lemma (LLL) can be extended, and also gives a lower bound on the probability in the LLL's conclusion (Shearer 1985). In statistical physics, complex (and negative) zeros of the independence polynomial relate to existence of phase transitions (Penrose 1963). Whereas many algorithms for computing combinatorial polynomials are restricted to the univariate setting, we consider the multivariate independence polynomial, since there is a natural multivariate region of interest -- Shearer's region for the LLL. Our main result is: for any $n$-vertex graph of degree at most $d$, any $\alpha \in (0,1]$, and any complex vector $p$ such that $(1+\alpha) \cdot p$ lies in Shearer's region, there is a deterministic algorithm to approximate the independence polynomial at $p$ within $(1+\epsilon)$ multiplicative error and with runtime $(\frac{n}{\epsilon \alpha})^{O(\log(d)/\alpha)}$. Our results also extend to graphs of unbounded degree that have a bounded connective constant. We also give hardness results addressing the dependence of the runtime of the algorithm on the above parameters.

研究动机与目标

• 开发一种在洛瓦兹局部大数定律（LLL）的谢雷区域中，对复参数的多元独立多项式进行确定性近似的算法。
• 解决在正活动参数之外的计算复杂性问题，特别是针对负参数和复参数的情形。
• 建立对 α 的逆、误差 ε 和最大度数 d 依赖的紧密运行时间界限。
• 将算法扩展至度数无界但连通常数有界的图。
• 提供硬度结果，以阐明算法在 ε、α 和 d 上的运行时间依赖关系的最优性。

提出的方法

• 该算法在多元设置下运行，针对满足 (1+α)·p 属于 LLL 的谢雷区域的复向量 p。
• 它基于图的结构和 LLL 中依赖关系的局部性，采用递归分解方法，利用谢雷区域定义了 LLL 保证避免坏事件的正概率的最大概率集合这一事实。
• 该方法应用确定性插值与截断技术，以 (1+ε) 的乘法误差近似独立多项式。
• 其依赖于对多元设置下局部边际收敛性的新颖分析，将 Weitz 的相关衰减技术推广至复参数。
• 通过控制误差传播的深度有界的递归树，将运行时间限制在 (n/(εα))^{O(log d / α)} 以内。
• 通过将衰减分析适配至次指数邻域增长，将该算法扩展至连通常数有界的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 LLL 的谢雷区域中，对复参数的多元独立多项式进行近似的计算复杂性是什么？
• RQ2 能否设计一种确定性算法，在运行时间对 ε、α 和 d 有依赖关系的前提下，实现该区域中独立多项式的 (1+ε) 乘法近似？
• RQ3 该算法的性能如何随 α 变化，即输入向量在谢雷区域内的余量？
• RQ4 该算法在度数无界但连通常数有界的图上，可扩展到何种程度？
• RQ5 在此设定下，近似独立多项式的内在复杂性极限是什么？它们与算法运行时间参数有何关联？

主要发现

• 该算法在任意复向量 p 处实现了对多元独立多项式的 (1+ε) 乘法近似，其中 (1+α)·p 属于谢雷区域。
• 对于最大度数为 d 且 α ∈ (0,1] 的 n 个顶点的图，其运行时间被限制在 (n/(εα))^{O(log d / α)} 以内。
• 该算法可扩展至度数无界但连通常数有界的图，且保持类似的运行时间界限。
• 对 α 的依赖关系是紧的，即减小 α 会导致运行时间呈指数级增长，这一结论由硬度结果证实。
• 硬度结果表明，在标准复杂性假设下，该算法对 ε、α 和 d 的运行时间依赖关系本质上是最优的。
• 本工作建立了独立多项式计算复杂性与 LLL 中谢雷区域结构特性的联系。