[论文解读] Computing the metric dimension of a graph from primary subgraphs

Dorota Kuziak, Juan A. Rodríguez‐Velázquez+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文提出一种方法，用于计算通过从主子图点连接构造的图的度量维数，特别是具有割点的图。通过分析主子图中连接顶点和度量基的作用，推导出此类图的度量维数的闭式公式，包括根积图、冠积图、块图和链图。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph. Given an ordered set $W = \{w_1, w_2,\dots w_k\}\subseteq V(G)$ and a vertex $u\in V(G)$, the representation of $u$ with respect to $W$ is the ordered $k$-tuple $(d(u,w_1), d(u,w_2),\dots,$ $d(u,w_k))$, where $d(u,w_i)$ denotes the distance between $u$ and $w_i$. The set $W$ is a metric generator for $G$ if every two different vertices of $G$ have distinct representations. A minimum cardinality metric generator is called a \emph{metric basis} of $G$ and its cardinality is called the \emph{metric dimension} of G. It is well known that the problem of finding the metric dimension of a graph is NP-Hard. In this paper we obtain closed formulae for the metric dimension of graphs with cut vertices. The main results are applied to specific constructions including rooted product graphs, corona product graphs, block graphs and chains of graphs.

研究动机与目标

• 开发一种计算通过点连接主子图构造的图的度量维数的一般方法。
• 通过将度量维数计算问题简化为更简单的子图问题，解决其 NP-难问题。
• 为根积、冠积、块图和链图等特殊图族提供度量维数的闭式公式。
• 阐明在联接图 $K_1 + H$ 中，全连接顶点属于度量基的条件，纠正先前结果。

提出的方法

• 将图 $G$ 定义为通过点连接成对不相交的连通主子图 $G_1, \dots, G_k$ 构造而成，其中子图之间的顶点被识别。
• 引入连接顶点 $A(G)$ 的概念，并将 $\dim^*(G_i)$ 定义为考虑其连接顶点后 $G_i$ 的度量维数。
• 证明：对于在内部子图中具有直径连接顶点的链图，有 $\dim(G) = \sum_{i=1}^k \dim^*(G_i)$。
• 利用 $K_1 + H$ 的结构，推导出全连接顶点属于度量基的条件，从而得出 $\dim(G \odot H)$ 的修正公式。
• 将该框架应用于推导冠积图 $G \odot H$ 的闭式公式，根据 $K_1$ 顶点是否属于 $K_1 + H$ 的度量基，区分不同情况。
• 利用半径和最大度的性质，建立充分条件（如 $r(H) \geq 4$），以确保 $K_1$ 顶点不包含在 $K_1 + H$ 的任何度量基中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从其主子图计算具有割点的图的度量维数？
• RQ2 在 $K_1 + H$ 中，全连接顶点在什么条件下属于度量基？
• RQ3 冠积图 $G \odot H$ 的精确度量维数是多少？
• RQ4 图链的度量维数与其分量子图的度量维数有何关系？
• RQ5 根积图和块图的度量维数能否基于其主子图用闭式公式表达？

主要发现

• 对于通过点连接 $G_1, \dots, G_k$ 构造的链图 $G$，若 $i = 2, \dots, k-1$ 时 $G_i$ 具有直径连接顶点，则度量维数为 $\dim(G) = \sum_{i=1}^k \dim^*(G_i)$。
• 对于冠积图 $G \odot H$，当 $G$ 的阶数 $n \geq 2$ 时，若 $K_1$ 顶点属于 $K_1 + H$ 的度量基，则 $\dim(G \odot H) = n \cdot (\dim(K_1 + H) - 1)$；否则 $\dim(G \odot H) = n \cdot \dim(K_1 + H)$。
• 若 $H$ 的半径满足 $r(H) \geq 4$ 或 $\dim(K_1 + H) > \Delta(H) + 1$，则 $K_1$ 顶点不属于 $K_1 + H$ 的任何度量基，因此 $\dim(G \odot H) = n \cdot \dim(K_1 + H)$。
• 对于图 6 中的图 $H$，有 $\dim(K_1 + H) = 3$，且由于 $K_1$ 顶点属于度量基，故 $\dim(G \odot H) = 2n$。
• 该结果修正了文献 [14] 中的定理 1，后者错误地断言 $\dim(G \odot H) = n \cdot \dim(K_1 + H)$ 无条件成立。
• 对于 $G_1 \cong K_{1,4}$，$G_2 \cong C_4$，$G_3 \cong K_3$，$G_4 \cong K_3$ 的链图，度量维数为 $\dim(G) = 4$，计算结果为 $\dim^*(G_1) + \dim^*(G_2) + \dim^*(G_3) + \dim^*(G_4) = 2 + 1 + 0 + 1$。