[论文解读] Computing the monodromy and pole order filtration on Milnor fiber cohomology of plane curves

Alexandru Dimca, Gabriel Sticlaru|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文提出了一种算法，用于计算约化射影平面曲线的 Milnor 纤维上同调的单值作用与极点阶滤子，利用 Koszul 复形的谱序列和 Saito 的退化结果。该方法高效地确定了上同调的特征值与分次项，其应用包括 Bernstein-Sato 多项式根与 Alexander 多项式的计算，尤其在验证了一个在所有测试实例中成立的猜想下。

ABSTRACT

We describe an algorithm computing the monodromy and the pole order filtration on the Milnor fiber cohomology of any reduced projective plane curve $C$. The relation to the zero set of Bernstein-Sato polynomial of the defining homogeneous polynomial for $C$ is also discussed. When $C$ has some non weighted homogeneous singularities, then we have to assume that a conjecture holds in order to get some of our results. In all the examples computed so far this conjecture holds.

研究动机与目标

• 开发一种通用算法，用于计算任意约化平面曲线的 Milnor 纤维上同调上的单值作用与极点阶滤子。
• 将先前仅限于自由或近乎自由曲线的方法扩展到任意约化平面曲线的一般情形。
• 通过谱序列计算，将极点阶滤子与 Bernstein-Sato 多项式 $b_f(s)$ 的根联系起来。
• 提供基于 Singular 的计算框架，代码公开，用于确定上同调的分次项与谱序列项。

提出的方法

• 该方法使用与定义多项式 $f$ 的偏导数相关的 Koszul 复形 $K^*_f$，计算其上同调以构建谱序列的 $E_1$-页。
• 谱序列 $E_*(f)$ 由 Gauss-Manin 复形构造，收敛于极点阶滤子 $P$ 下的 Milnor 纤维上同调的分次项。
• 该算法计算该谱序列的 $E_2$ 和 $E_3$ 项，其编码了单值特征值与滤子数据。
• 对于仅含加权齐次奇点的曲线，Saito 定理保证谱序列在 $E_2$ 退化，从而简化计算。
• 对于一般曲线，该方法依赖于猜想 2.6，断言 $E_3 = E_\infty$，从而捕获完整的 $P$-滤子数据。
• 计算在计算机代数系统 Singular 中实现，代码公开可用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一般情形（而非仅限于自由或近乎自由曲线）下计算约化平面曲线的 Milnor 纤维上同调上的单值作用？
• RQ2 对于任意约化平面曲线，$H^1(F,\mathbb{C})$ 和 $H^2(F,\mathbb{C})$ 上的极点阶滤子 $P$ 的精确结构是什么？
• RQ3 极点阶滤子如何与 Bernstein-Sato 多项式 $b_f(s)$ 的根相关联？
• RQ4 谱序列 $E_*(f)$ 在何种条件下会早期退化？何时可利用 $E_3$ 恢复 $E_\infty$？
• RQ5 该算法能否可靠地计算谱 $Sp^p(f)$，并检测拓扑等价但代数不同的曲线之间的 $R_f$（即 $b_f(-s)$ 的根集）差异？

主要发现

• 该算法计算了所有单位根 $\lambda$ 和 $m=1,2$ 的特征子空间 $H^m(F,\mathbb{C})_\lambda$ 的维数，从而完整确定了单值作用。
• 对于 $H^1(F,\mathbb{C})$，极点阶滤子 $P$ 与 Hodge 滤子 $F$ 重合，该算法计算了 $\dim Gr^p_P H^1(F,\mathbb{C})_\lambda$。
• 对于 $H^2(F,\mathbb{C})$，在猜想 2.6 成立的假设下，该算法计算了所有 $p$ 和 $\lambda$ 的 $\dim Gr^p_P H^2(F,\mathbb{C})_\lambda$，即使在非加权齐次奇点情形下也成立。
• 在所有测试实例中，猜想 2.6 成立，且该算法正确计算了谱 $Sp^p(f)$，包括 $Sp^0(f)$ 和 $Sp^1(f)$，如 $d=10$、$d=6$ 和 $d=12$ 的曲线所示。
• 该方法成功区分了 Milnor 数相同但 Bernstein-Sato 多项式根不同的曲线，例如 $f_1$ 和 $f_2$ 满足 $\frac{8}{5} \in R_{f_2} \setminus R_{f_1}$，证实了理论预测。
• 该算法确认了自由与近乎自由曲线满足 $P^1 H^2(F,\mathbb{C}) = H^2(F,\mathbb{C})$，并在 $\mu(C) \neq \tau(C)$ 的例子中验证了这一点，如 $d=12$ 且 $q_0(f)=26$ 的曲线。