[论文解读] Concave Quadratic Cuts for Mixed-Integer Quadratic Problems

Jaehyun Park, Stephen Boyd|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2015

Optimization and Packing Problems参考文献 123被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于混合整数二次规划（MIQPs）的新割平面方法，通过利用在整数格点上有效的凹二次不等式来强化半定规划（SDP）松弛。通过添加这些割线，该方法在非凸QCQPs上提升了最优值的下界，在整数最小二乘和最大割问题中均显著减少了间隙，其最优性间隙改善程度超出Goemans-Williamson界达27%。

ABSTRACT

The technique of semidefinite programming (SDP) relaxation can be used to obtain a nontrivial bound on the optimal value of a nonconvex quadratically constrained quadratic program (QCQP). We explore concave quadratic inequalities that hold for any vector in the integer lattice ${\bf Z}^n$, and show that adding these inequalities to a mixed-integer nonconvex QCQP can improve the SDP-based bound on the optimal value. This scheme is tested using several numerical problem instances of the max-cut problem and the integer least squares problem.

研究动机与目标

• 改进非凸混合整数二次约束二次规划（MIQCQPs）最优值的下界。
• 基于在整数格点Z^n上有效的凹二次不等式，开发一种割平面方法。
• 利用这些割线强化半定规划（SDP）松弛，从而提升NP难组合问题的边界质量。
• 在整数最小二乘和最大割等基准问题上评估该方法，其中紧致边界至关重要。

提出的方法

• 基于整数向量的结构，推导对所有x ∈ Z^n成立的凹二次不等式。
• 制定形式为x^T A x + b^T x + c ≤ 0的合法不等式，其中A为半负定矩阵，且所有整数向量均满足该不等式。
• 将这些不等式作为割平面集成到MIQCQP的SDP松弛中，从而在不改变问题可行集的前提下提升边界。
• 通过随机生成满足||a||_2 = √3的割向量a，识别并添加能有效收紧松弛的割线。
• 通过重构约束，将该方法应用于QCQPs的最小化和最大化形式，包括整数最小二乘和最大割问题。
• 使用标准SDP求解器求解加入割线后的SDP问题，并将新边界与经典的SDP松弛（如Goemans-Williamson）进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用在整数格点上有效的凹二次不等式来强化非凸MIQCQPs的SDP松弛？
• RQ2 与经典的SDP边界（如Goemans-Williamson）相比，这些割线在减少最优性间隙方面的有效性如何？
• RQ3 尽管约束结构不同，该方法是否对整数最小二乘和最大割问题均能产生更紧的边界？
• RQ4 在提升边界质量时，添加割线的数量与计算成本之间的权衡如何？
• RQ5 该方法与高阶Lasserre层级之间是否存在结构性关联？

主要发现

• 在整数最小二乘问题中，所提割线使最优性间隙相比经典SDP边界最多减少了27%。
• 在最大割问题中，该方法实现了平均12%-27%的最优性间隙减少，其中减少后与原始间隙的比值α介于0.73至0.88之间。
• 使用||a||_2 = √3的割线带来了显著改进，而||a||_2 = √2的割线则未产生可测量的收益。
• 在所有测试的10个最大割实例中，该方法产生的上界均优于Goemans-Williamson边界，其中在G54300和G54600实例中改善最为显著。
• 当添加约1,000条割线时，平均求解时间从约1秒增加到约15-23秒，表明边界质量与计算成本之间存在明确权衡。
• 该方法表明，即使在布尔问题中，不定二次割线也可行有效，暗示其在更广泛问题中的潜在应用前景。