[论文解读] Concavity of the Lagrangian Phase Operator and Applications

Tristan C. Collins, Sébastien Picard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 30被引用 4

一句话总结

该论文通过证明次解条件在超临界相位条件 $ h(x) > (n-2)\frac{\pi}{2} $ 下可保证唯一解的存在性，建立了实与复设置下拉普拉斯相位算子的狄利克雷问题的可解性。作者采用连续性方法与边界估计，推导出 $ C^{3,\beta} $ 正则性，将次解方法推广至非严格凹但具有凹水平集的完全非线性算子。

ABSTRACT

We study the Dirichlet problem for the Lagrangian phase operator, in both the real and complex setting. Our main result states that if $Ω$ is a compact domain in $\mathbb{R}^{n}$ or $\mathbb{C}^n$, then there exists a solution to the Dirichlet problem with right-hand side $h(x)$ satisfying $|h(x)| > (n-2)\fracπ{2}$ and boundary data $ϕ$ if and only if there exists a subsolution.

研究动机与目标

• 建立实域与复域中拉普拉斯相位算子狄利克雷问题的可解性。
• 将次解方法推广至非凹但具有凹水平集的完全非线性算子。
• 在超临界相位条件 $ h(x) > (n-2)\frac{\pi}{2} $ 下证明解的 $ C^{3,\beta} $ 正则性。
• 将蒙日-安培方程与复蒙日-安培方程的结果推广至拉普拉斯相位情形。

提出的方法

• 使用次解方法，要求存在一个次解 $ \underline{u} $ 满足 $ \sum \arctan \underline{\lambda}_i \geq h(x) $ 在 $ \Omega $ 内成立。
• 应用连续性方法论证，将问题与一个已知可解的情形连接起来。
• 通过构造涉及 $ \tilde{G} $、$ \eta $ 和 $ \psi(z) = -e^{-h(z)} $ 的支撑函数 $ \Phi $，推导出先验 $ C^2 $ 估计。
• 通过坐标归一化与曲率项 $ \sigma_{\alpha\bar{\beta}} $ 估计边界点处的 $ u_{n\bar{n}} $，建立边界 $ C^2 $ 估计。
• 应用 Evans-Krylov 定理与 Wang 的拓展技巧，获得内部 $ C^{2,\alpha} $ 估计。
• 使用 Krylov 方法推导边界 $ C^{2,\alpha} $ 估计，完成先验估计的构建。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{R}^n $ 或 $ \mathbb{C}^n $ 中，拉普拉斯相位算子的狄利克雷问题在何种条件下存在解？
• RQ2 次解方法能否推广至非凹但具有凹水平集的算子？
• RQ3 在超临界相位条件下，解的正则性（如 $ C^{3,\alpha} $）可保证到何种程度？
• RQ4 复海色蒂 $ \partial\bar{\partial}u $ 的边界估计如何依赖于 $ \partial\Omega $ 的几何结构？
• RQ5 函数 $ \psi(z) = -e^{-h(z)} $ 在构造边界支撑函数中起什么作用？

主要发现

• 在超临界相位条件 $ h(x) > (n-2)\frac{\pi}{2} $ 下，拉普拉斯相位算子狄利克雷问题的解存在当且仅当存在一个次解。
• 解唯一且属于 $ C^{3,\alpha}(\overline{\Omega}) $，当所有输入光滑时，其光滑性由数据继承。
• 通过由 $ \tilde{G} $、$ \eta $ 和 $ \psi(z) $ 构造的支撑函数 $ \Phi $ 建立先验 $ C^2 $ 估计，确保边界处 $ u_{n\bar{n}} \leq C $。
• Evans-Krylov 定理与 Wang 的拓展技巧导出内部 $ C^{2,\alpha} $ 估计，而 Krylov 方法提供边界 $ C^{2,\alpha} $ 估计。
• $ C^{2,\alpha} $ 先验估计仅依赖于 $ \Omega $、$ \|\underline{u}\|_{C^4} $、$ \|h\|_{C^2} $ 和 $ \delta $，其中 $ h(x) \geq (n-2)\frac{\pi}{2} + \delta $。
• 连续性方法通过从次解构造解完成证明，确认了解的存在性与正则性。