[论文解读] Concentration of OTOC and Lieb-Robinson velocity in random Hamiltonians

Chi-Fang Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2021

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 46被引用 8

一句话总结

本文通过基于一致光滑性的稳健矩阵鞅技术，为典型随机哈密顿量（包括时间不变和布朗运动型）中的散射时间有序关联函数（OTOC）和李布-罗宾逊型对易子范数建立了高概率集中界限。结果表明，对易子范数在光锥外呈幂律衰减，速度标度为 $ r^{3\beta/2 - 2} $，并得到了与一维短程、幂律及SYK类系统中已知下界和猜想一致的界限。

ABSTRACT

The commutator between operators at different space and time has been a diagnostic for locality of unitary evolution. Most existing results are either for specific tractable (random) Hamiltonians(Out-of-Time-Order-Correlators calculations), or for worse case Hamiltonians (Lieb-Robinson-like bounds or OTOC bounds). In this work, we study commutators in typical Hamiltonians. Draw a sample from any zero-mean bounded independent random Hamiltonian ensemble, time-independent or Brownian, we formulate concentration bounds in the spectral norm and for the OTOC with arbitrary non-random state. Our bounds hold with high probability and scale with the sum of interactions squared. Our Brownian bounds are compatible with the Brownian limit while deterministic operator growth bounds must diverge. We evaluate this general framework on short-ranged, 1d power-law interacting, and SYK-like k-local systems and the results match existing lower bounds and conjectures. Our main probabilistic argument employs a robust matrix martingale technique called uniform smoothness and may be applicable in other settings.

研究动机与目标

• 通过研究来自随机系综的典型哈密顿量，弥合最坏情况下的李布-罗宾逊界限与特定模型的 OTOC 计算之间的差距。
• 为通用、零均值、有界随机哈密顿量中对易子谱范数与 OTOC 的高概率集中界限提供推导。
• 构建一个适用于时间不变与布朗运动型随机哈密顿量的统一框架，其界限在布朗运动极限下保持有限，而确定性界限在此处发散。
• 在 1D 短程、幂律及 k-局部（如 SYK 类似）系统上验证该框架，结果与现有猜想和下界一致。

提出的方法

• 采用基于一致光滑性的矩阵鞅技术，推导随机哈密顿量系综中算符增长的集中不等式。
• 通过空间的二元分解控制时间演化算符在距离 $ r $ 之外的范数，按尺度 $ 2^m r_0 $ 对算符进行分组。
• 对各尺度应用并集界，失败概率随 $ 2^{m(1 - \beta/2)} $ 指数衰减，确保整体集中性。
• 通过矩生成函数估计与反集中不等式推导尾部界限，导致失败概率呈指数衰减。
• 将时间不变与布朗运动型哈密顿量同等处理，其界限在布朗运动极限下保持有限。
• 通过调节 $ \tau(r) $ 使得对易子范数在 $ \tau(r) $ 外消失，从而导出具有幂律标度的光锥结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在来自零均值、有界系综的典型随机哈密顿量中，对易子范数与 OTOC 如何集中？
• RQ2 能否推导出在布朗运动极限下保持有限的算符增长高概率界限，而不同于发散的确定性李布-罗宾逊界限？
• RQ3 在该随机系综框架下，典型 1D 短程、幂律及 k-局部系统的有效李布-罗宾逊速度为何？
• RQ4 基于一致光滑性的矩阵鞅技术如何实现比最坏情况或特定模型分析更紧的集中界限？
• RQ5 所推导的界限在多大程度上与 1D 自旋链和 SYK 模型等系统中的已知下界和猜想一致？

主要发现

• 对易子谱范数 $ \| [O_0(t), A_r] \| $ 以高概率集中在 $ \exp(-c \epsilon^2 r^{3\alpha/2 - 2} / \tau) $ 附近，其中 $ \alpha $ 控制相互作用的衰减速率。
• 对于布朗运动哈密顿量，所推导的界限保持有限且不发散，而确定性算符增长界限在连续极限下会发散。
• 有效李布-罗宾逊速度由幂律光锥 $ \tau(r) \propto r^{2\alpha - 3} $ 描述，且当 $ r \to \infty $ 时，对易子范数在该光锥外几乎必然消失。
• 在一维短程与幂律相互作用系统中，所推导的界限与现有猜想和下界一致，验证了该框架的准确性。
• 该框架导出了 OTOC 范数的高概率界限：$ \| \mathbb{E}[O^\tau_{\geq r}] \| \leq \sqrt{ \frac{\tau}{c_0 r^{3\alpha/2 - 2}} ( \ln D \cdot a' r^{1 - \alpha/2} - \ln \delta ) } $，失败概率为 $ \delta $。
• 该方法实现了渐近集中：$ \lim_{r \to \infty} \mathbb{P}( \| [A_r, O_0(\tau(r))] \| \geq \epsilon ) = 0 $，证实了典型随机哈密顿量中因果光锥结构的存在。