[论文解读] Concentration of total curvature of minimal surfaces in H^2xR

Ricardo Sá Earp, Éric Toubiana|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文证明，在 $ℂ^2\times\mathbb{R}$ 的乘积空间中，当稳定极小曲面的渐近边界满足特定几何条件时，其总曲率会出现集中现象。论文进一步证明，若极小图的渐近边界是 $\partial_{\infty}\mathbb{H}^2\times\{0\}$ 上某段弧的图，且其渐近行为不同于边界本身的渐近行为，则该极小图必具有无限总曲率，且其单位法向量的垂直分量在无穷远处趋于 1。

ABSTRACT

We prove a phenomenon of concentration of total curvature for stable minimal surfaces in the product space H^2xR; where H^2 is the hyperbolic plane. Under some geometric conditions on the asymptotic boundary of an oriented stable minimal surface immersed in H^2xR, it has infinite total curvature. In particular, we infer that a minimal graph M in H^2xR whose asymptotic boundary is a graph over an arc of the asymptotic boundary of H^2, different from the asymptotic boundary of the boundary of M, has infinite total curvature. Consequently, if M is a stable minimal surface immersed into H^2xR with compact boundary, such that its asymptotic boundary is a graph over the whole asymptotic boundary of H^2; then it has infinite total curvature. We exhibit an example of a minimal graph such that in a domain whose asymptotic boundary is a vertical segment the total curvature is finite, but the total curvature of the graph is infinite, by the theorem cited before. We also present some simple and peculiar examples of infinite total curvature minimal surfaces in H^2xR and their asymptotic boundaries.

研究动机与目标

• 研究 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中稳定极小曲面的总曲率行为，特别关注渐近边界几何如何影响曲率集中。
• 建立极小曲面（尤其是极小图）必须具有无限总曲率的条件，即使其并非适当浸入。
• 分析单位法向量场的渐近行为，特别是其第三分量收敛于 1 的情况，当曲面上的点趋近于渐近边界无穷远点时。
• 提供显式例子，说明在子区域上总曲率为有限，但在整个曲面上总曲率为无限，从而说明曲率集中现象。

提出的方法

• 利用稳定性算子 $\mathcal{L}$，并采用如下判据：若存在正则光滑函数 $u$ 满足 $\mathcal{L}u = 0$，则该区域是稳定的。
• 应用有限渐近边界 $\partial_{\infty}^f M$ 的概念，定义为理想边界中具有有限高度的点的集合，以分析边界行为。
• 在 $\mathbb{H}^2$ 的庞加莱圆盘模型中求解狄利克雷问题，边界条件包括在渐近弧上取 $-A$，在测地线上取 $+\infty$，从而构造极小图。
• 应用胡伯定理（Huber's theorem），即：具有有限总曲率的完备单连通极小曲面必共形等价于 $\mathbb{C}$，当存在有界调和函数时导出矛盾。
• 利用 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中极小曲面上的高度函数为调和函数的性质，从而在 $\mathbb{C}$ 上不存在非平凡有界调和函数，排除非平凡整极小图的有限总曲率可能性。
• 分析 $\partial_{\infty}\mathbb{H}^2$ 中的测地线射线与渐近弧等几何构型，以确定极小曲面的渐近边界在何种条件下导致无限曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中，稳定极小曲面的渐近边界满足何种几何条件时，其总曲率为无限？
• RQ2 若 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中的极小图具有非紧边界，但其渐近边界是 $\partial_{\infty}\mathbb{H}^2\times\{0\}$ 的真子弧上的图，其总曲率是否可能为有限？
• RQ3 当曲面上的点沿曲面趋近于渐近边界无穷远点时，单位法向量场的垂直分量 $n_3$ 的渐近行为如何？
• RQ4 是否存在一种情况，使得极小曲面在其子区域上总曲率为有限，但在整个曲面上总曲率为无限？若存在，其条件为何？
• RQ5 若有限渐近边界包含于一条竖直线中，对具有非紧边界的极小曲面的总曲率有何影响？

主要发现

• 若 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中的极小图 $M$ 的渐近边界是 $\partial_{\infty}\mathbb{H}^2\times\{0\}$ 上某段弧的图，且其渐近行为不同于 $\partial M$ 的渐近行为，则 $M$ 具有无限总曲率。
• 若 $M$ 是具有紧致边界的稳定极小曲面，且其渐近边界是 $\partial_{\infty}\mathbb{H}^2\times\{0\}$ 的整个区域上的连续图，则 $M$ 具有无限总曲率。
• 对于 $\partial_{\infty}^f M$ 中不属于 $\partial_{\infty}^f(\partial M)$ 的任意内点 $p_{\infty}$，当 $p \to p_{\infty}$ 沿 $M$ 趋近时，单位法向量的第三分量满足 $|n_3(p)| \to 1$。
• 构造了一个显式例子：极小图的某子区域具有有限总曲率（该区域具有竖直线段作为渐近边界），但因全局渐近边界条件，整个图的总曲率为无限。
• 具有有限总曲率的 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中的完备极小曲面，其有限渐近边界必须由竖直线组成，该事实被用于推导主要结果中的矛盾。
• 非平凡的整极小图（非常值）在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中必具有无限总曲率，否则其将共形等价于 $\mathbb{C}$，与 $\mathbb{C}$ 上不存在非平凡有界调和函数的事实矛盾。