[论文解读] Conformal de Rham decomposition of Riemannian manifolds

Ruy Tojeiro|ArXiv.org|Apr 23, 2004

Geometric Analysis and Curvature FlowsMathematics参考文献 7被引用 19

一句话总结

本文建立了黎曼流形上 de Rham 与 Hiepko 分解定理的共形类比，给出了流形局部共形于黎曼积或扭曲积的充要条件。主要贡献在于刻画了具有两个不同特征值的 Codazzi 张量的黎曼流形，表明其局部共形于扭曲积，当特征值满足函数关系且在各自的特征分布上为常数时，给出了明确的分类。

ABSTRACT

We prove conformal versions of the local decomposition theorems of de Rham and Hiepko of a Riemannian manifold as a Riemannian or a warped product of Riemannian manifolds. Namely, we give necessary and sufficient conditions for a Riemannian manifold to be locally conformal to either a Riemannian or a warped product. We also obtain other related de Rham-type decomposition theorems. As an application, we study Riemannian manifolds that admit a Codazzi tensor with two distinct eigenvalues everywhere.

研究动机与目标

• 将 de Rham 与 Hiepko 的局部分解定理推广至共形情形，刻画黎曼流形何时局部共形于黎曼积或扭曲积。
• 研究黎曼流形上的正交网，并确定其在何种条件下局部具有共形于黎曼积或扭曲积度量的积结构。
• 将共形分解框架应用于分类具有恰好两个不同特征值的 Codazzi 张量的黎曼流形。
• 当特征值在各自的特征分布上为常数且通过光滑函数相关联时，确定此类流形的结构。

提出的方法

• 通过光滑扭曲函数 ρ 引入扭曲积度量的概念，推广了扭曲积与黎曼积。
• 定义网同态与网同构，以形式化具有正交分布的流形上的局部积结构。
• 利用扭曲积的 Levi-Civita 联络与曲率性质，推导共形分解的条件。
• 应用 Codazzi 张量条件，推导涉及特征值及其梯度的微分方程，特别关注两个不同特征值的情形。
• 利用平均曲率法向量及特征值在特征分布上为常数的条件，对所得几何结构进行分类。
• 推导关键关系式 ∫ dμ̃ / (h(μ̃) − μ̃) = log σ，以关联扭曲积情形下的扭曲函数 σ 与特征值函数 h(μ̃)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，黎曼流形局部共形于黎曼流形的黎曼积？
• RQ2 在何种条件下，黎曼流形局部共形于黎曼流形的扭曲积？
• RQ3 当存在具有两个不同特征值的 Codazzi 张量，且一个特征值在其特征分布上为常数时，会形成何种几何结构？
• RQ4 特征值之间的函数关系（例如 λ = h(μ)）如何约束流形的局部几何？
• RQ5 具有两个不同特征值的 Codazzi 张量的黎曼流形的完整分类是什么，且两个特征值均在其特征分布上为常数？

主要发现

• 具有两个不同特征值 λ 与 μ 的黎曼流形，其中 μ 沿 Eμ 为常数，且 λ = h(μ)（h 为光滑函数），则其局部共形于扭曲积度量。
• 若 λ 与 μ 均在其各自特征分布上为常数，则流形局部等距于黎曼积度量。
• 当 Eλ 的秩为 1 且 μ 沿 Eμ 为常数时，流形局部等距于扭曲积度量，其扭曲函数 σ 满足 ∫ dμ̃ / (h(μ̃) − μ̃) = log σ。
• 特征值函数 h(μ̃) 与扭曲函数 σ 通过一阶常微分方程关联，完全确定了扭曲积结构。
• 结果推广了经典等温曲面的刻画，其中共形 de Rham 定理扩展了经典等温网的判据，该判据以测地曲率表示。
• 该分类包含了所有满足特征值函数关系与常数性条件的流形，给出了完整的局部几何描述。