[论文解读] Conformal Deformation on Manifolds with Boundary

Szu-yu Sophie Chen|ArXiv.org|Nov 15, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文建立了在具有脐形边界的紧致四维流形上，存在共形度量使得 $\sigma_2$ 曲率恒定且边界曲率不变量 $\mathcal{B}_{\hat{g}}$ 恒为零的存在性结果。通过在带边流形上使用变分法，将 Yamabe 问题推广至非线性曲率泛函，证明了 $\sigma_k$ 曲率的临界点刻画，并建立了具有非 Dirichlet 型边界条件的完全非线性偏微分方程的 $C^2$ 估计。

ABSTRACT

We consider natural conformal invariants arising from the Gauss-Bonnet formulas on manifolds with boundary, and study conformal deformation problems associated to them. The key technique we used is to derive boundary C^2 estimates directly from C^0 estimates for fully nonlinear equations. The main result has appeared in the author's thesis.

研究动机与目标

• 通过研究源自 Gauss-Bonnet 公式的共形不变量，将非线性 Yamabe 问题推广至带边流形。
• 在体积归一化条件下，刻画泛函 $\mathcal{F}_k(g) = \int_M \sigma_k(A_g) + \oint_{\partial M} \mathcal{B}^k_g$ 的临界点。
• 建立共形度量的存在性，使得 $\sigma_k(A_{\hat{g}})$ 为常数且 $\mathcal{B}^k_{\hat{g}} = 0$ 在边界上成立，特别关注四维情形下 $k=2$ 的情况。
• 为源自共形变形问题的完全非线性椭圆型偏微分方程建立先验估计，其边界条件为斜型。
• 通过定义适当的边界曲率不变量 $\mathcal{B}^k$，将闭流形上的结果推广至带边流形。

提出的方法

• 利用切向 Schouten 张量与第二基本形式的混合对称函数定义边界曲率不变量 $\mathcal{B}^k$，并对 $k=2$ 和 $k\geq3$ 给出特殊形式。
• 引入泛函 $\mathcal{F}_k(g) = \int_M \sigma_k(A_g) + \oint_{\partial M} \mathcal{B}^k_g$，并在体积归一化条件下研究其临界点。
• 证明在适当的曲率与拓扑条件下，$\mathcal{F}_k|_{\mathcal{M}}$ 的临界点对应于 $\sigma_k(A_g) = \text{constant}$ 与 $\partial M$ 上 $\mathcal{B}^k_g = 0$ 的解。
• 通过截断函数与最大值原理技术，建立完全非线性偏微分方程 $\sigma_2(A_{\hat{g}}) = f$ 满足 $\mathcal{B}_{\hat{g}} = 0$ 的解的 $C^2$ 估计。
• 利用 $F = \sigma_2^{1/2}$ 的凹性与曲率估计，推导 $u_{nnn}$ 的下界，并通过涉及 $e^{ax_n}$ 的辅助函数控制 $\Delta u$。
• 对加权函数 $H = \eta(\Delta u + |\nabla u|^2)e^{ax_n}$ 应用最大值原理，获得 $\Delta u$ 与 $|\nabla u|$ 的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过寻找具有常数 $\sigma_2$ 曲率且边界曲率 $\mathcal{B}_g$ 恒为零的共形度量，将非线性 Yamabe 问题推广至带边流形？
• RQ2 哪些适当的边界曲率不变量 $\mathcal{B}^k$ 可以将 Gauss-Bonnet 公式推广至带边流形？
• RQ3 在何种条件下，泛函 $\mathcal{F}_k(g) = \int_M \sigma_k(A_g) + \oint_{\partial M} \mathcal{B}^k_g$ 的临界点满足 $\sigma_k(A_g) = \text{constant}$ 与 $\mathcal{B}^k_g = 0$？
• RQ4 如何为源自共形变形问题、具有非 Dirichlet 型斜边界条件的完全非线性偏微分方程建立 $C^2$ 估计？
• RQ5 在局部共形平坦或脐形边界假设下，$\mathcal{F}_k|_{\mathcal{M}}$ 的临界点刻画是否对所有 $k \geq 3$ 成立？

主要发现

• 对于具有脐形边界的紧致四维流形，若 Yamabe 常数 $Y(M,\partial M,[g])$ 与共形不变量 $\int_M \sigma_2(A_g) + \frac{1}{2}\oint_{\partial M} \mathcal{B}_g$ 均为正，则存在共形度量 $\hat{g}$，使得 $\sigma_2(A_{\hat{g}})$ 为常数且 $\mathcal{B}_{\hat{g}} = 0$。
• 更一般的存在性结果成立：对任意正函数 $f$，若 $M$ 不共形等价于标准半球面，则存在共形度量 $\hat{g}$，使得 $\sigma_2(A_{\hat{g}}) = f$ 且 $\mathcal{B}_{\hat{g}} = 0$。
• 当 $n \neq 4$ 时，泛函 $\mathcal{F}_2(g)$ 在体积归一化共形类上存在临界点，当且仅当 $\sigma_2(A_g) = \text{constant}$ 且 $\mathcal{B}^2_g = 0$ 在 $\partial M$ 上成立。
• 当 $n > 2k$ 且流形局部共形平坦时，$\mathcal{F}_k(g)$ 存在临界点当且仅当 $\sigma_k(A_g) = \text{constant}$ 且 $\mathcal{B}^k_g = 0$ 在 $\partial M$ 上成立。
• 当边界为脐形时，临界点刻画对所有 $n \neq 2k$ 成立，将结果从局部平坦情形推广至更一般情形。
• 本文建立了 $\sigma_2(A_{\hat{g}}) = f$ 且 $\mathcal{B}_{\hat{g}} = 0$ 的解的 $C^2$ 估计，通过加权最大值原理证明 $\Delta u$ 与 $|\nabla u|$ 在 $\overline{B}^+_{r/2}$ 上一致有界。