[论文解读] Conformal metrics on $R^{2m}$ with constant Q-curvature, prescribed volume and asymptotic behavior

Ali Hyder, Luca Martinazzi|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{R}^{2m}$ 上存在光滑共形度量，其 $Q$-曲率恒定，体积 $V$ 给定，且共形因子 $u(x)$ 在 $|x|\to\infty$ 时具有受控渐近行为。当 $\bar{Q} = (2m-1)!$ 时，对任意 $V < \mathrm{vol}(S^{2m})$ 和任意多项式 $P \in \mathcal{P}_m$（满足 $x\cdot\nabla P(x) \to \infty$ 在无穷远处），解存在。令人惊讶的是，当 $\bar{Q} = -(2m-1)!$ 时，对任意 $V > 0$ 解也存在，揭示了正负 $Q$-曲率之间行为的根本差异。

ABSTRACT

We study the solutions $u\in C^\infty(R^{2m})$ of the problem $(-Δ)^m u= Qe^{2mu}$, where $Q=\pm (2m-1)!$, and $V :=\int_{R^{2m}}e^{2mu}dx 1$. This corresponds to finding conformal metrics $g_u:=e^{2u}|dx|^2$ on $R^{2m}$ with constant Q-curvature $Q$ and finite volume $V$. Extending previous works of Chang-Chen, and Wei-Ye, we show that both the value $V$ and the asymptotic behavior of $u(x)$ as $|x| o \infty$ can be simultaneously prescribed, under certain restrictions. When $Q=(2m-1)!$ we need to assume $V

研究动机与目标

• 通过同时指定体积 $V$ 和共形因子 $u(x)$ 在 $|x|\to\infty$ 时的渐近行为，扩展此前在 $\mathbb{R}^{2m}$ 上关于 $Q$-曲率方程的研究结果。
• 研究 $Q$-曲率方程 $(-\Delta)^m u = \bar{Q} e^{2mu}$ 在 $\bar{Q} = \pm (2m-1)!$ 时非球面对解的存在性，要求体积有限且具有指定的多项式衰减结构。
• 阐明体积约束在存在性理论中的作用，特别是区分 $\bar{Q} > 0$ 和 $\bar{Q} < 0$ 两种情形，其中体积限制在一种情形下是必要的，而在另一种情形下则不存在。

提出的方法

• 作者采用受 Wei 和 Ye（2010）启发的不动点论证，并通过爆破分析中的紧致性结果导出的先验估计，将其推广至更高阶 $m > 2$ 的情形。
• 他们定义了多项式类 $\mathcal{P}_m$，即次数 $\leq 2m-2$ 的多项式 $P$，满足 $\lim_{|x|\to\infty} x\cdot\nabla P(x) = \infty$，以确保 $u(x)$ 具有正确的渐近衰减。
• 证明依赖于 Brézis–Merle 的关键估计以及其推广形式（引理 A.2），以控制加权 Sobolev 空间中解的增长。
• 一个关键技术工具是多调和算子的反演公式（引理 A.1），它将 $u$ 在无穷远处的行为与在原点附近的性质通过 Kelvin 变换联系起来。
• 作者在加权 $L^p$-Sobolev 空间 $M_{2m,\delta}^p$ 中建立了先验估计，这些估计蕴含在无穷远处的统一衰减，从而允许应用 Schauder 的不动点定理。
• 对于 $\bar{Q} = -(2m-1)!$，体积无上界的原因在于爆破分析中缺乏紧致性障碍，这与正曲率情形形成鲜明对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造 $\mathbb{R}^{2m}$ 上 $Q$-曲率方程的解，使其同时具有指定体积 $V$ 和共形因子 $u(x)$ 的指定渐近行为？
• RQ2 在 $\bar{Q} = (2m-1)!$ 的存在性理论中，体积约束 $V < \mathrm{vol}(S^{2m})$ 的作用是什么？为何在 $\bar{Q} = -(2m-1)!$ 时该约束不复存在？
• RQ3 在多大程度上，由多项式 $P(x)$ 决定的 $u(x)$ 的渐近形态可以独立于体积 $V$ 被指定？
• RQ4 在高维 $m > 1$ 情形下，$Q$-曲率方程的几何与分析性质在正负 $Q$-曲率之间有何不同？
• RQ5 当 $|x|\to\infty$ 时，条件 $x\cdot\nabla P(x) \to \infty$ 对于具有给定渐近展开的解的存在性是否必要且充分？

主要发现

• 当 $\bar{Q} = (2m-1)!$ 时，对任意 $V \in (0, \mathrm{vol}(S^{2m}))$ 和任意 $P \in \mathcal{P}_m$，存在光滑解 $u$ 满足 $(-\Delta)^m u = (2m-1)! e^{2mu}$，且在 $|x|\to\infty$ 时有 $u(x) = -\alpha \log|x| - P(x) + C + o(1)$，其中 $\alpha = 2V / \mathrm{vol}(S^{2m})$。
• 当 $|x|\to\infty$ 时 $x\cdot\nabla P(x) \to \infty$ 的条件对存在性结果至关重要，它确保 $P$ 在无穷远处足够快地增长，从而允许构造具有所需衰减的解。
• 当 $\bar{Q} = -(2m-1)!$ 时，体积 $V$ 可以任意大，且对任意 $V > 0$ 和任意 $P \in \mathcal{P}_m$ 解均存在，表明正负 $Q$-曲率下解的结构存在根本差异。
• $\mathcal{P}_m$ 类包含形如 $\sum a_j x_j^{2i_j}$ 的多项式，其中 $a_j > 0$，$i_j \in \{1,\dots,m-1\}$，以及低阶项，但也包含更多一般形式、无法以如此简单方式分解的多项式。
• 证明依赖于加权 Sobolev 空间 $M_{2m,\delta}^p$ 中的先验估计，这些估计蕴含在无穷远处的统一衰减，从而允许应用 Schauder 的不动点定理。
• 当 $\bar{Q} = -(2m-1)!$ 时，体积无上界的原因在于爆破分析中缺乏紧致性障碍，这与正曲率情形下该上界为必要形成鲜明对比。