[论文解读] Conformally invariant operators, differential forms, cohomology and a generalisation of Q-curvature

Thomas Branson, A. Rod Gover|ArXiv.org|Sep 5, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文通过在偶数维共形流形上引入微分形式上的高阶共形不变微分算子，构建了新的共形不变微分复形，推广了Q-曲率并扩展了临界阶共形Laplacian。关键贡献是通过环境度量实现的几何构造，得到形式自伴、可因式分解的算子 $L_k$ 及其对应的规范伴算子 $G_k$，构成椭圆强制系统，从而定义了微分形式调和子空间的有限维共形稳定子空间。

ABSTRACT

On conformal manifolds of even dimension $n\geq 4$ we construct a family of new conformally invariant differential complexes. Each bundle in each of these complexes appears either in the de Rham complex or in its dual. Each of the new complexes is elliptic if the signature is Riemannian. We also construct gauge companion operators which complete the exterior derivative to a conformally invariant and (in the case of Riemannian signature) elliptically coercive system. These (operator,gauge) pairs are used to define finite dimensional conformally stable form subspaces which are are candidates for spaces of conformal harmonics. These constructions are based on a family of operators on closed forms which generalise in a natural way the Q-curvature. We give a universal construction of these new operators and show that they yield new conformally invariant global pairings between differential form bundles. Finally we give a geometric construction of a family of conformally invariant differential operators between density-valued differential form bundles and develop their properties (including their ellipticity type in the case of definite conformal signature). The construction is based on the ambient metric of Fefferman and Graham, and its relationship to tractor bundles. For each form order, our derivation yields an operator of every even order in odd dimensions, and even order operators up to order $n$ in even dimension $n$. In the case of unweighted forms as domain, these operators are the natural form analogues of the critical order conformal Laplacian of Graham et al., and are key ingredients in the new differential complexes mentioned above.

研究动机与目标

• 在偶数维共形流形上构造新的共形不变微分复形，其上边缘算子阶数大于一。
• 基于环境度量的通用几何构造，将Branson的Q-曲率推广至微分形式。
• 通过共形不变且椭圆强制的算子-规范对，定义微分形式的有限维共形稳定子空间——共形调和子空间的候选。
• 将临界阶共形Laplacian扩展为奇数维中所有偶数阶的形值算子，以及偶数维 $n$ 中至阶 $n$ 的算子。
• 在tractor丛、环境度量与形式丛之间建立共形不变全局配对的几何联系。

提出的方法

• 利用Fefferman和Graham的环境度量，构造在密度值微分形式之间取值的共形不变微分算子。
• 推导出在真 $k$-形式上作用的算子族 $L_k$，其主部为 $(\delta d)^{n/2-k}$，可因式分解为 $\delta M d$，确保形式自伴性与共形不变性。
• 引入阶数为 $n-2k+1$ 的规范伴算子 $G_k$，其主部为 $\delta(d\delta)^{n/2-k}$，在黎曼符号下构成共形不变且椭圆强制的系统 $(L_k, G_k)$。
• 建立tractor丛与齐次环境形式之间的对应关系，实现算子及其共形变换律的几何实现。
• 利用外微分恒等式与 $\log\tilde{\sigma}$ 的齐次性，推导出广义Q-曲率算子 $Q_k^\sigma$ 的环境表达式，将其与环境Laplacian及收缩算子联系起来。
• 证明环境表达式 $Q_k^\sigma$ 在标量情形下退化为已知的Q-曲率，并通过 $\tilde{\mathbb{Q}}^{\ell,\sigma}_k$ 将其推广至形值算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在偶数维共形流形上构造包含高阶上边缘算子的共形不变微分复形？
• RQ2 共形不变微分算子的几何构造是什么，其如何推广临界阶共形Laplacian与Q-曲率？
• RQ3 如何定义规范伴算子，使得系统 $(L_k, G_k)$ 具有共形不变性与椭圆强制性？
• RQ4 环境度量、tractor丛与共形不变形式算子构造之间存在何种关系？
• RQ5 广义Q-曲率算子 $Q_k^\sigma$ 如何推广经典Q-曲率，并与环境微分算子相关联？

主要发现

• 本文在维度 $n \geq 4$ 的偶数维共形流形上构造了一类新的共形不变微分复形，每类复形均包含阶数大于一的上边缘算子。
• 在 $k$-形式上作用的算子 $L_k$ 是形式自伴的，可因式分解为 $\delta M d$，其主部为 $(\delta d)^{n/2-k}$，推广了麦克斯韦算子。
• 在黎曼符号下，复形是椭圆的，算子 $L_k$ 虽非椭圆但为半正定，因此需要规范伴算子以实现强制性。
• 阶数为 $n-2k+1$ 的规范伴算子 $G_k$ 被构造为共形不变且椭圆强制的系统 $(L_k, G_k)$，从而可定义微分形式调和子空间的有限维共形稳定子空间。
• 环境度量构造产生了一族共形不变算子，作用于密度值形式，其中 $L_k$ 是临界阶共形Laplacian在形式上的自然类比。
• 广义Q-曲率算子 $Q_k^\sigma$ 通过环境几何推导得出，其在标量情形下退化为经典Q-曲率，其环境表达式涉及 $\mbox{\boldmath{$\Delta$}}/^{\ell}$ 与 $\log\tilde{\sigma}$。