[论文解读] Conformally Invariant Variational Problems

Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 62被引用 28

一句话总结

本文研究二维中的共形不变变分问题，聚焦于调和映射、指定平均曲率曲面和杨-米尔斯场产生的非线性偏微分方程。通过存在一个光滑映射 $\vec{L}$ 和一个解析函数 $f(z)$ 满足复微分系统，本文建立了共形威勒米全浸入的关键刻画，揭示了共形几何与可积系统之间通过 $δ_z$-方程和 $δ_{\bar z}$-相容性条件的深刻联系。

ABSTRACT

Conformal invariance plays a significant role in many areas of Physics, such as conformal field theory, renormalization theory, turbulence, general relativity. Naturally, it also plays an important role in geometry: theory of Riemannian surfaces, Weyl tensors, $Q$-curvature, Yang-Mills fields, etc... We shall be concerned with the study of conformal invariance in analysis. More precisely, we will focus on the study of nonlinear PDEs arising from conformally invariant two dimensional variational problems (e.g. harmonic maps, prescribed mean curvature surfaces, Willmore and Constrained conformal surfaces, isothermic surfaces). The present manuscript are lecture notes of courses given by the author at several places including UBC Vancouver, SNS Pisa, IHP Paris, ICTP Trieste.

研究动机与目标

• 理解共形不变性在几何与数学物理中出现的变分问题中的作用。
• 通过用能量泛函替代面积泛函以确保强制性和弱下半连续性，解决参数化板纽问题。
• 通过涉及势 $\vec{L}$ 和解析函数 $f(z)$ 的复微分系统，刻画共形威勒米浸入。
• 建立威勒米方程与揭示隐藏可积结构的复偏微分方程组之间的等价性。

提出的方法

• 使用能量泛函 $E(u) = \frac{1}{2}\int_{D^2} |\partial_x u|^2 + |\partial_y u|^2 \, dx\wedge dy$ 作为面积泛函 $A(u)$ 的强制性替代，后者缺乏下半连续性。
• 应用点态不等式 $|\partial_x u \times \partial_y u| \leq \frac{1}{2}(|\partial_x u|^2 + |\partial_y u|^2)$ 关联面积与能量，等式成立当且仅当 $u$ 是弱共形的。
• 引入共形因子 $\lambda$ 和复坐标 $z = x_1 + i x_2$，$\bar z = x_1 - i x_2$，以解析形式表达几何量。
• 通过复微分几何及法向/切向分解，推导出系统 $\partial_z \vec{L} = e^{-\lambda} f \vec{e}_{\bar z} - 2i \langle \vec{H}, \vec{H}_0 \rangle \partial_{\bar z} \vec{\Phi} - 2i \pi_{\vec{n}}(\partial_z \vec{H})$。
• 利用条件 $\partial_{\bar z} f = 0$ 强制 $f$ 的解析性，将系统与可积系统理论联系起来。
• 通过反向等价链和 $\Im(\partial_{\bar z} \alpha) = 0 \Leftrightarrow \alpha = \partial_z a$，证明威勒米方程与复系统之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何克服面积泛函在弱设定下缺乏强制性的问题，以解决参数化板纽问题？
• RQ2 共形威勒米浸入由何种复微分方程表征？
• RQ3 二维中的共形不变性如何导致变分问题中可积结构的出现？
• RQ4 解析函数在威勒米曲面表征中起何种精确作用？
• RQ5 威勒米方程能否被重述为涉及势 $\vec{L}$ 和解析函数 $f(z)$ 的复系统？

主要发现

• 能量泛函 $E(u)$ 在 $W^{1,2}(D^2, \mathbb{R}^m)$ 中是强制的且弱下半连续的，可实现直接最小化，而面积泛函不具备此性质。
• 面积 $A(u)$ 上界为能量 $E(u)$，等式成立当且仅当 $u$ 是弱共形的。
• 共形威勒米浸入由光滑映射 $\vec{L}$ 和解析函数 $f(z)$ 的存在性表征，满足 $\partial_z(\vec{L} - 2i\vec{H}) = 2i|\vec{H}|^2 \partial_z \vec{\Phi} + [e^{-2\lambda}f(z) - 4i\langle \vec{H}, \vec{H}_0 \rangle] \partial_{\bar z} \vec{\Phi}$。
• 系统简化为 $\partial_{\bar z} f = 0$ 和 $\Delta_\perp \vec{H} + \tilde{A}(\vec{H}) - 2|\vec{H}|^2 \vec{H} = e^{-2\lambda} \Im(f \overline{\vec{H}_0})$，显示出平均曲率方程的法向与切向分量。
• 条件 $\Im(\partial_{\bar z} f \, \vec{e}_{\bar z}) = 0$ 等价于 $\partial_{\bar z} f = 0$，强制解析性并使系统与复分析相联系。
• 通过反向等价链，证明了威勒米方程与复系统的等价性，从而完整刻画了共形威勒米浸入。