[论文解读] Conformally Kähler, Einstein--Maxwell metrics and boundedness of the modified Mabuchi-functional

Abdellah Lahdili|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文证明，在紧致极化复流形上，若存在共形凯勒爱因斯坦-麦克斯韦（cKEM）度量，或更一般地，存在常$(\xi,a,p)$-标量曲率的凯勒度量，则该度量最小化$(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函。证明方法基于有限维近似与广义平衡度量，扩展了唐纳森、李以及萨诺-蒂普勒的技巧，并将结果应用于完全刻画亏格大于2的几何双曲曲面的凯勒类中cKEM度量的存在性。

ABSTRACT

We prove that if a compact smooth polarized complex manifold admits in the corresponding Hodge Kähler class a conformally Kähler, Einstein--Maxwell metric, or more generally, a Kähler metric of constant $(ξ, a, p)$-scalar curvature, then this metric minimizes the $(ξ,a,p)$-Mabuchi functional. Our method of proof extends the approach introduced by Donaldson and developed by Li and Sano--Tipler, via finite dimensional approximations and generalized balanced metrics. As an application of our result and the recent construction of Koca--Tønnesen-Friedman, we describe the Kähler classes on a geometrically ruled complex surface of genus greater than 2, which admit conformally Kähler, Einstein-Maxwell metrics.

研究动机与目标

• 建立常$(\xi,a,p)$-标量曲率凯勒度量（包括cKEM度量）最小化$(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函的性质。
• 将唐纳森、李以及萨诺-蒂普勒的分析方法推广至cKEM及广义$(\xi,a,p)$-标量曲率情形。
• 完全刻画亏格大于2的几何双曲复曲面上存在共形凯勒爱因斯坦-麦克斯韦度量的凯勒类。
• 通过分析$(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函的有界性，解决此类度量的存在性与非存在性问题。

提出的方法

• 利用凯勒势空间的有限维近似来研究$(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函。
• 在近似方案中，将广义平衡度量作为关键技术工具。
• 应用文献[2, 31]中引入的$(\xi,a,p)$-标量曲率框架，通过标量曲率、Killing势的拉普拉斯算子及Killing向量场范数的加权组合来定义曲率。
• 利用Mabuchi泛函的临界点条件，将常$(\xi,a,p)$-标量曲率度量识别为泛函的极小化子。
• 依赖于$(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函在Killing势的缩放与归一化下的不变性。
• 将结果应用于双曲曲面的Calabi试探法，通过轮廓函数与关联多项式$P_\kappa(z)$分析Mabuchi泛函的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致极化复流形上，若存在共形凯勒爱因斯坦-麦克斯韦度量，是否意味着其最小化$(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函？
• RQ2 在给定凯勒类上，$(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函在何种条件下从下方有界？
• RQ3 在亏格大于2的几何双曲复曲面上，哪些凯勒类允许存在共形凯勒爱因斯坦-麦克斯韦度量？
• RQ4 $(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函的有界性与常$(\xi,a,p)$-标量曲率度量的存在性之间有何关系？
• RQ5 多项式$P_\kappa(z)$的符号在决定此类度量的存在性或非存在性中起何种作用？

主要发现

• 任何常$(\xi,a,p)$-标量曲率的凯勒度量（包括cKEM度量）均最小化$(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函。
• 若关联多项式$P_\kappa(z)$在$(-1,1)$的任意子区间上为负，则$(\xi,a,p)$-Mabuchi泛函无下界，从而表明此类度量不存在。
• 对于亏格大于2的几何双曲曲面，共形凯勒爱因斯坦-麦克斯韦度量仅存在于凯勒类$\Omega_\kappa$中，且满足$\kappa > \kappa_0(X)$，其中$\kappa_0(X)$为临界值。
• 通过反证法证明了当$\kappa \in (1, \kappa_0(X)]$时cKEM度量不存在，利用有理$\kappa$的稠密性及泛函的解析延拓。
• 在Calabi试探法空间上限制的Mabuchi泛函可显式表示为涉及$P_\kappa(z)$与辛势函数二阶导数对数差的积分。
• 当$P_\kappa(z)$为负时，泛函沿度量空间中某些路径趋于$-\infty$，从而确认其无下界，进一步证实极小化子不存在。