[论文解读] Congruences between Heegner points and quadratic twists of elliptic curves

Daniel Kriz, Chao Li|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文建立了具有同构模 $p$ 伽罗瓦表示的椭圆曲线上 Heegner 点的 $p$-进对数之间的同余公式，从而实现了对解析秩为 0 或 1 的二次扭量的构造。对于满足 2-进对数条件的广泛类椭圆曲线，本文证明了当 $r=0,1$ 时，$N_r(E,X) \gg X / \log^{5/6}X$，显著改进了先前的界限，并验证了此类扭量的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的 2-部分。

ABSTRACT

We establish a congruence formula between $p$-adic logarithms of Heegner points for two elliptic curves with the same mod $p$ Galois representation. As a first application, we use the congruence formula when $p=2$ to explicitly construct many quadratic twists of analytic rank zero (resp. one) for a wide class of elliptic curves $E$. We show that the number of twists of $E$ up to twisting discriminant $X$ of analytic rank zero (resp. one) is $\gg X/\log^{5/6}X$, improving the current best general bound towards Goldfeld's conjecture due to Ono--Skinner (resp. Perelli--Pomykala). We also prove the 2-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for many rank zero and rank one twists of $E$, which was only recently established for specific CM elliptic curves $E$.

研究动机与目标

• 建立具有同构模 $p$ 伽罗瓦表示的椭圆曲线上 Heegner 点的 $p$-进对数之间的同余关系。
• 将此同余关系应用于构造解析秩为 0 或 1 的椭圆曲线二次扭量，改进 Goldfeld 猜想的相关界限。
• 验证广泛类椭圆曲线的解析秩 0 和秩 1 扭量的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的 2-部分。
• 为非 CM 椭圆曲线提供一个通用框架，扩展此前仅限于 CM 曲线的成果。

提出的方法

• 通过以 $p=2$ 为关键情形，推导出两个具有同构模 $p$ 伽罗瓦表示的椭圆曲线上 Heegner 点的 $p$-进对数之间的同余公式。
• 利用同余关系关联二次扭量的特殊 $L$-值与 $p$-进 $L$-函数，利用扭变保持模 2 伽罗瓦表示的性质。
• 通过确保 Heegner 点的 2-进对数模 2 满足非零条件，利用同余关系构造解析秩为 0 或 1 的二次扭量。
• 应用 $p$-进 BSD 猜想和 Gross–Zagier 定理的 $p$-逆定理，推导出所构造扭量的 BSD 猜想的 2-部分。
• 利用 Heegner 点构造与反典型 $p$-进 $L$-函数，分析二次扭量在模 $p$ 下 $L$-值的非零性。
• 通过显式计算 2-进对数并模 2 简化，特别针对小判别式及特定曲线如 $E=11a1$，验证关键条件 (\bigstar)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有同构模 $p$ 伽罗瓦表示的椭圆曲线建立 Heegner 点的 $p$-进对数之间的同余关系？
• RQ2 此类同余关系是否能实现以正密度构造解析秩为 0 或 1 的二次扭量？
• RQ3 能否验证非 CM 椭圆曲线的解析秩 0 和秩 1 扭量的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的 2-部分？
• RQ4 在温和的算术条件下，解析秩为 0 或 1 的二次扭量数量的最佳可能下界是什么？

主要发现

• 对于满足 $E(\mathbb{Q})[2]=0$ 且条件 (\bigstar) 的椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$，当 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(E[2]) / \mathbb{Q}) \cong S_3$ 时，导子不超过 $X$ 的解析秩为 0 或 1 的二次扭量数量为 $\gg X / \log^{5/6}X$。
• 当 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(E[2]) / \mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 时，秩为 0 或 1 扭量的数量的界限提升至 $\gg X / \log^{2/3}X$。
• 该工作验证了大量解析秩为 0 和秩 1 的 $E$ 的二次扭量的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的 2-部分，扩展了此前仅限于 CM 曲线的结果。
• 显式例子如 $E=11a1$ 表明，在导子 $\leq 750$ 且 $d_K = -7$ 的 39 个秩 0 曲线中，有 28 个满足条件 (\bigstar)，从而支持界限成立与 BSD 验证。
• 该方法具有广泛适用性：即使 $E$ 不满足 (\bigstar)，其某个二次扭量 $E^*$ 也可能满足，表明该界限对正密度的椭圆曲线成立。
• 反典型 $p$-进 $L$-函数在 $p=2$ 时于平凡特征标处模 $p$ 的非零性是一个关键数论条件，本文表明该条件可通过 Heegner 点计算进行验证。