[论文解读] Congruences involving alternating multiple harmonic sum

Roberto Tauraso|ArXiv.org|May 20, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文建立了一个关于含二项式系数 $\binom{-1/2}{k}$ 的交错多重调和和的 $p$-进同余式，表明其模 $p^3$ 同余于负调和和 $-\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k}$，其中 $p > 3$ 为素数。该结果通过交错多重调和和与二项式系数展开的高阶同余关系，对已知的 $p$-进对数恒等式进行了精化，引入了费马商与伯努利数项。

ABSTRACT

We show that for any prime prime $p ot=2$ $$\sum_{k=1}^{p-1} {(-1)^k\over k}{-{1\over 2} \choose k} \equiv -\sum_{k=1}^{(p-1)/2}{1\over k} \pmod{p^3}$$ by expressing the l.h.s. as a combination of alternating multiple harmonic sums.

研究动机与目标

• 通过 $p$-进分析建立和式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k}$ 的 $p^3$-同余式。
• 将已知的 $p$-进对数恒等式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k} \equiv 2q_p(2) \pmod{p}$ 提高到更高精度。
• 推导深度为 2 且指标为负的交错多重调和和模 $p$ 的新同余式。
• 通过涉及 $q_p(2)$ 和 $B_{p-3}$ 的 $p^3$-同余式，将该和与调和和 $-\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k}$ 联系起来。

提出的方法

• 利用生成函数将和式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k}$ 表示为交错多重调和和的组合。
• 应用交错多重调和和的反转与混洗关系，在模 $p$ 下约化深度为 2 的和式。
• 使用模 $p^2$ 和 $p^3$ 下的非交错调和和已知同余式，包括涉及伯努利数与费马商的同余式。
• 在模 $p^3$ 下使用二项式系数展开，特别是 $\binom{2p}{j} \equiv -2p/j + 4p^2 H(1;j-1)/j \pmod{p^3}$。
• 应用恒等式 $4^{p-1} \equiv 1 - 2q_p(2)p + 3q_p(2)^2p^2 \pmod{p^3}$ 以反转求和中的缩放因子。
• 通过代数恒等变形与模逆运算合并所有项，推导出最终的 $p^3$-同余式。

实验结果

研究问题

• RQ1 已知 $p$-进同余式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k} \equiv 2q_p(2) \pmod{p}$ 的 $p^3$-进精化形式为何？
• RQ2 如何将负指标的交错多重调和和与经典调和和及伯努利数在模 $p^3$ 下关联起来？
• RQ3 和式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k}$ 是否可表示为与 $-\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k}$ 模 $p^3$ 同余的形式？
• RQ4 在模 $p$ 下，交错多重调和和如 $H(-1,-2;p-1)$ 和 $H(-1,-1,1;p-1)$ 会导出哪些新同余式？

主要发现

• 对于素数 $p > 3$，有 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k} \equiv 2q_p(2) - p q_p(2)^2 + \frac{2}{3}p^2 q_p(2)^3 + \frac{7}{12}p^2 B_{p-3} \pmod{p^3}$。
• 该和模 $p^3$ 同余于 $-\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k}$，从而与经典调和和直接关联。
• 对于素数 $p \neq 2$，有同余式 $H(-1,-2;p-1) \equiv -\frac{3}{4}B_{p-3} \pmod{p}$。
• 对于素数 $p \neq 2$，建立了同余式 $H(-1,-1,1;p-1) \equiv q_p(2)^3 + \frac{7}{8}B_{p-3} \pmod{p}$。
• 通过二项式系数展开，推导出恒等式 $4^{p-1} \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k} \equiv 2q_p(2) + 3p q_p(2)^2 + \frac{2}{3}p^2 q_p(2)^3 + \frac{7}{12}p^2 B_{p-3} \pmod{p^3}$。
• 利用逆缩放关系 $4^{-(p-1)} \equiv 1 - 2q_p(2)p + 3q_p(2)^2p^2 \pmod{p^3}$，在模 $p^3$ 下恢复原始和式。