[论文解读] Congruences involving Franel and Catalan-Larcombe-French numbers

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文利用超几何恒等式与模形式理论，建立了关于弗拉内尔数与卡塔兰-拉科姆-弗朗斯数模素数的新同余关系。证明了这些序列的加权和模 $ p $ 的值由 $ p $ 表示为二元二次型（如 $ p = x^2 + 5y^2 $ 或 $ p = x^2 + 15y^2 $）的方式决定，从而解决了此前猜想的部分情形。

ABSTRACT

Let $\{f_n\}$ be the Franel numbers given by $f_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^3$, and let $p>5$ be a prime. In this paper we mainly determine $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{f_k}{m^k}\pmod p$ for $m=5,-16,16,32,-49,50,96$. Let $S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$. We also determine $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{S_k}{m^k}\pmod p$ for $m=7,16,25,32,64,160,800,1600, 156832$.

研究动机与目标

• 解决关于弗拉内尔数 $ f_n = inom{n}{k}^3 $ 模素数 $ p > 5 $ 的同余猜想，特别是形如 $ extstyleinom{2k}{k} f_k / m^k $ 的和式。
• 推广涉及卡塔兰-拉科姆-弗朗斯数 $ S_n $（定义为 $ extstyleinom{n}{k} inom{2k}{k} inom{2n-2k}{n-k} $）的和式模 $ p $ 的结果。
• 建立此类和式与素数表示为 $ p = x^2 + dy^2 $ 之间的联系，特别是针对 $ d = 5, 15, 6, 7, 11, 19, 43, 67, 163 $，通过勒让德符号条件实现。
• 证明某些模 $ p $ 的超几何型和式值为 $ 4x^2 $ 或 $ 0 $，具体取决于 $ p $ 在特定虚二次域中的分裂行为。
• 推广早期关于阿佩尔型序列的结果，并利用生成函数与模恒等式建立统一框架。

提出的方法

• 推导一个关键恒等式：$ extstyleinom{2k}{k} ig( rac{m}{(m+8)^2} ig)^k f_k riangleq inom{2k}{k}^2 inom{3k}{k} ig( rac{m}{(m+4)^3} ig)^k mod p $，将弗拉内尔数与超几何项联系起来。
• 应用模形式理论与超几何变换，将 $ k = 0 $ 到 $ p-1 $ 的和式与 $ p $ 的类数条件联系起来。
• 利用勒让德符号 $ ig( rac{D}{p} ig) $ 判断 $ p $ 是否在 $ ext{Q}( ext{--}D) $ 中分裂，从而确定模 $ p $ 下和式的值。
• 使用生成函数 $ C_k(t) $ 与 $ S_n(x) $ 推广和式的结构，并将其与多姆数与阿尔姆克维斯特-祖季林数等已知序列关联。
• 应用孙（2013）与贾里森-维尔ill（2003）的已知定理，将和式约化为模 $ p $ 下的已知同余关系，特别利用了模 $ p^2 $ 的结果。
• 利用恒等式 $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{m^k} mod p $ 将和式约化为依赖于 $ p $ 是否可表示为 $ x^2 + dy^2 $ 的形式，其中 $ d eq 1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些整数 $ m eq 0 $，和式 $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{m^k} mod p $ 可表示为 $ x^2 $ 形式，当 $ p = x^2 + dy^2 $ 时？
• RQ2 和式 $ extstyleinom{2k}{k} rac{S_k}{m^k} mod p $ 是否能完全由 $ p $ 在 $ ext{Q}( ext{--}d) $ 中的分裂行为决定，其中 $ d = 7, 11, 19, 43, 67, 163 $？
• RQ3 恒等式 $ extstyleinom{2k}{k} ig( rac{m}{(m+8)^2} ig)^k f_k riangleq inom{2k}{k}^2 inom{3k}{k} ig( rac{m}{(m+4)^3} ig)^k mod p $ 是否对所有 $ m ot riangleq 0, -8, -4 mod p $ 成立？
• RQ4 当 $ p = x^2 + 7y^2 $ 且 $ ig( rac{-15+4t}{p} ig) = 1 $ 时，和式 $ extstyleinom{2k}{k} rac{C_k(t)}{(4t - 4n)^k} mod p $ 是否等于 $ 4x^2 $？
• RQ5 能否验证猜想 $ extstyleinom{2k}{k} rac{C_k}{(n-12)^k} mod p^2 riangleq ig( rac{n(n-12)}{p} ig) extstyleinom{2k}{k} inom{3k}{k} inom{6k}{3k} / n^{3k} mod p^2 $ 对 $ n eq 0, 12 $ 成立？

主要发现

• 当 $ p > 5 $ 时，$ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{(-16)^k} mod p riangleq 4x^2 $ 若 $ p = x^2 + 9y^2 $，且 $ 0 $ 若 $ p riangleq 3 mod 4 $。
• 当 $ m = 16 $ 时，$ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{16^k} mod p riangleq 4x^2 $ 若 $ p = x^2 + 5y^2 $，且 $ 0 $ 若 $ p riangleq 2 mod 3 $。
• 当 $ m = 5 $ 时，$ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{5^k} mod p riangleq 4x^2 $ 若 $ p = x^2 + 15y^2 $，且 $ x, y eq 0 mod p $。
• 当 $ m = 32 $ 时，$ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{32^k} mod p riangleq 4x^2 $ 若 $ p = x^2 + 6y^2 $，否则为 $ 0 $。
• 对于 $ extstyleinom{2k}{k} rac{S_k}{m^k} mod p $，当 $ p = x^2 + 7y^2 $ 且 $ p riangleq 1,2,4 mod 7 $ 时，和式为 $ 4x^2 $，否则为 $ 0 $。
• 当 $ m = 160080 $ 时，$ extstyleinom{2k}{k} rac{C_k(t)}{(4t - 640320)^k} mod p riangleq x^2 $ 若 $ p = x^2 + 163y^2 $ 且 $ ig( rac{p}{163} ig) = 1 $，否则为 $ 0 $。