[论文解读] Conic singularities, generalized scattering matrix, and inverse scattering on asymptotically hyperbolic surfaces

Hiroshi Isozaki, Yaroslav Kurylev+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 5

一句话总结

该论文证明了广义散射矩阵唯一确定了具有尖点和常规端点的渐近双曲曲面上的黎曼度量及锥奇点结构。通过分析尖点附近赫姆霍兹方程的解，作者定义了一个广义S-矩阵，该矩阵编码了几何信息，并证明了S-矩阵的同谱性意味着整体等距性，包括对双曲平面的弗克辛群商空间的轨道流形同构性。

ABSTRACT

We consider an inverse problem associated with some 2-dimensional non-compact surfaces with conical singularities, cusps and regular ends. Our motivating example is a Riemann surface $\mathcal M = Γ\backslash{\bf H}^2$ associated with a Fuchsian group of the 1st kind $Γ$ containing parabolic elements. $\mathcal M$ is then non-compact, and has a finite number of cusps and elliptic singular points, which is regarded as a hyperbolic orbifold. We introduce a class of Riemannian surfaces with conical singularities on its finite part, having cusps and regular ends at infinity, whose metric is asymptotically hyperbolic. By observing solutions of the Helmholtz equation at the cusp, we define a generalized S-matrix. We then show that this generalized S-matrix determines the Riemannian metric and the structure of conical singularities.

研究动机与目标

• 为具有锥奇点、尖点和常规端点的渐近双曲曲面定义一个广义散射矩阵。
• 建立该广义S-矩阵唯一确定整个黎曼度量及锥奇点结构的结论。
• 证明广义S-矩阵的同谱性意味着底层曲面的整体等距性。
• 将逆散射结果推广至作为双曲平面关于几何有限弗克辛群的商空间而产生的非紧致双曲轨道流形。

提出的方法

• 定义一类具有锥奇点、尖点和常规端点的二维黎曼曲面，其度量为渐近双曲度量。
• 通过在尖点端附近对赫姆霍兹方程解的渐近分析，引入广义S-矩阵。
• 利用径向测地线与角参数，将散射矩阵与锥奇点附近的局部度量结构联系起来。
• 通过共形与解析延拓论证，将等距性从正则部分提升至奇点。
• 在双曲轨道流形情形下，证明广义S-矩阵确定了弗克辛群的共轭类。
• 应用可去奇点定理与万有覆叠，将等距性延拓至锥奇点处。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义S-矩阵是否能唯一确定具有锥奇点的渐近双曲曲面的黎曼度量？
• RQ2 S-矩阵是否编码了锥奇点的结构，包括其锥角？
• RQ3 若两个此类曲面具有相同的广义S-矩阵且正则端等距，它们是否整体等距？
• RQ4 广义S-矩阵是否能确定作用于双曲平面上的几何有限弗克辛群的共轭类？
• RQ5 能否求解具有椭圆奇点的双曲轨道流形的逆散射问题？

主要发现

• 广义S-矩阵唯一确定了整个曲面（包括锥奇点）上的黎曼度量。
• 通过度量展开式 (1.2) 中的常数 $ C_p $，S-矩阵确定了每个锥奇点处的锥角。
• 若两个曲面具有等距的正则端且广义S-矩阵完全相同，则它们整体等距。
• 广义S-矩阵确定了几何有限弗克辛群在双曲平面上作用的共轭类。
• 曲面之间的等距性可解析延拓至锥奇点处，从而蕴含轨道同构性。
• 证明依赖于将等距性提升至万有覆叠，并利用可去奇点定理将等距性延拓至奇点处。