[论文解读] Conic singularities metrics with prescribed Ricci curvature: the case of general cone angles along normal crossing divisors

Henri Guenancia, Mihai Păun|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用 28

一句话总结

该论文为紧致凯勒流形上沿法向相交除子具有锥奇点的蒙日-安培方程解建立了精确的拉普拉斯估计与 $\mathscr{C}^{2,eta,\alpha}$ 估计，且不依赖于锥角大小。其主要贡献在于提出了一个关于具有锥奇点的凯勒-爱因斯坦度量的一般存在性与正则性定理，从而完成了该领域先前的研究工作。

ABSTRACT

Let $X$ be a non-singular compact Kähler manifold, endowed with an effective divisor $D= \sum (1-β_k) Y_k$ having simple normal crossing support, and satisfying $β_k \in (0,1)$. The natural objects one has to consider in order to explore the differential-geometric properties of the pair $(X, D)$ are the so-called metrics with conic singularities. In this article, we complete our earlier work \cite{CGP} concerning the Monge-Ampère equations on $(X, D)$ by establishing Laplacian and ${\mathscr C}^{2,α, β}$ estimates for the solution of this equations regardless to the size of the coefficients $0

研究动机与目标

• 将具有锥奇点的凯勒-爱因斯坦度量理论推广至沿法向相交除子的一般锥角情形。
• 解决当锥角属于 $ (0,1) $ 时，蒙日-安培方程缺乏正则性估计的问题。
• 通过建立解在 $\mathscr{C}^{2,\alpha,\beta}$ 空间中的完整正则性，完成 [CGP] 中先前结果的不足。
• 为满足 $ D = \sum(1-\beta_k)Y_k $ 且 $ \beta_k \in (0,1) $ 的对偶 $ (X,D) $，提供一个关于具有锥奇点的凯勒-爱因斯坦度量的一般存在性定理。

提出的方法

• 在具有任意锥角的一般锥度量背景下，使用加权索伯列夫与斯chauder估计。
• 应用连续性方法求解紧致凯勒流形上沿法向相交除子的蒙日-安培方程。
• 通过局部坐标与轨道丛结构，在奇点附近构造模型度量。
• 运用超调势论与屏障方法，控制解在除子附近的性质。
• 推导出与锥角 $\beta_k \in (0,1)$ 无关的统一拉普拉斯估计。
• 通过结合椭圆估计与锥度量的结构，建立 $\mathscr{C}^{2,\alpha,\beta}$ 正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在凯勒流形上沿锥奇点的蒙日-安培方程解中，获得与锥角无关的统一拉普拉斯估计？
• RQ2 当除子具有简单法向相交支撑时，锥蒙日-安培方程解的最优正则性类是什么？
• RQ3 在锥角属于 $ (0,1) $ 的法向相交除子上，具有锥奇点的凯勒-爱因斯坦度量在何种条件下存在？
• RQ4 解的正则性特征如何依赖于除子的几何结构与锥角的选择？
• RQ5 连续性方法能否成功应用于沿法向相交除子构造具有任意锥角的凯勒-爱因斯坦度量？

主要发现

• 该论文为所有 $\beta_k \in (0,1)$ 的锥蒙日-安培方程解建立了与锥角大小无关的统一拉普拉斯估计。
• 证明了在紧致凯勒流形上沿法向相交除子且具有任意锥角 $\beta_k \in (0,1)$ 的蒙日-安培方程解具有 $\mathscr{C}^{2,\alpha,\beta}$ 正则性。
• 为满足 $ D = \sum(1-\beta_k)Y_k $ 且 $ \beta_k \in (0,1) $ 的对偶 $ (X,D) $，建立了具有锥奇点的凯勒-爱因斯坦度量的一般存在性定理。
• 该结果通过移除锥角限制并提供加权赫尔德空间 $\mathscr{C}^{2,\alpha,\beta}$ 中的完整正则性，完成了 [CGP] 中先前工作的不足。
• 该方法确保所构造的凯勒-爱因斯坦度量在除子外光滑，并在 $D$ 的各分量上具有指定的锥奇点。
• 在给定的锥凯勒类与指定的里奇曲率条件下，蒙日-安培方程的解被证明是唯一的。