[论文解读] Conjugacy and cocycle conjugacy of automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ are not Borel

Eusebio Gardella, Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用 7

一句话总结

该论文证明了Cuntz代数$\mathcal{O}_2$的自同构的共轭关系与上循环共轭关系是完全解析集，因此不是Borel集，这意味着这些分类问题的复杂度严格高于任何具有Borel同构关系的可数结构类的分类问题。该结论即使在固定有限阶自同构的情况下依然成立，并可推广至满足UCC定理且$K_1$-群平凡的Kirchberg代数。

ABSTRACT

The group of automorphisms of the Cuntz algebra $\mathcal{O}_{2}$ is a Polish group with respect to the topology of pointwise convergence in norm. Our main result is that the relations of conjugacy and cocycle conjugacy of automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ are complete analytic sets and, in particular, not Borel. Moreover, we show that from the point of view of Borel complexity theory, classifying automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ up to conjugacy or cocycle conjugacy is strictly more difficult than classifying up to isomorphism any class of countable structures with Borel isomorphism relation. In fact the same conclusions hold even if one only considers automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ of a fixed finite order. In the course of the proof we will show that the relation of isomorphism of Kichberg algebras (with trivial $K_{1}$-group and satisfying the Universal Coefficient Theorem) is a complete anaytic set. Moreover, it is strictly more difficult to classify Kirchberg algebras (with trivial $K_{1}$-group and satisfying the Universal Coefficient Theorem) than classifying up to isomorphism any class of countable structures with Borel isomorphism relation.

研究动机与目标

• 确定Cuntz代数$\mathcal{O}_2$自同构的共轭关系与上循环共轭关系的Borel复杂度。
• 研究这些关系是否可通过可数结构进行分类，或是否严格更复杂。
• 将复杂度分析扩展至满足UCC定理且$K_1$-群平凡的Kirchberg代数。
• 将$\mathcal{O}_2$自同构的分类难度与可数结构上的同构关系分类难度进行比较。
• 探讨在简单C*-代数的背景下，这些关系的非光滑性是否意味着其无法通过可数结构进行分类。

提出的方法

• 利用范数拓扑下的逐点收敛拓扑，为$\mathrm{Aut}(\mathcal{O}_2)$赋予波兰群结构。
• 应用描述集合论工具，特别是Wadge可约性和完全解析集的概念。
• 从任意可数结构的同构关系构造到满足$K_1$-群平凡且满足UCC定理的Kirchberg代数同构关系的Borel归约。
• 证明此类Kirchberg代数的同构关系是完全解析集。
• 通过从Kirchberg代数同构关系的归约，证明$\mathcal{O}_2$自同构的共轭关系与上循环共轭关系是完全解析集。
• 利用完全解析集不是Borel集的事实，从而证明这些分类问题的非Borel性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 作为$\mathrm{Aut}(\mathcal{O}_2) \times \mathrm{Aut}(\mathcal{O}_2)$的子集，$\mathcal{O}_2$自同构的共轭关系是否为Borel集？
• RQ2 $\mathcal{O}_2$自同构的上循环共轭关系是否为Borel集，还是其复杂度更高？
• RQ3 能否将$\mathcal{O}_2$自同构的共轭或上循环共轭分类问题归约为具有Borel同构关系的可数结构分类问题？
• RQ4 满足$K_1$-群平凡且满足UCC定理的Kirchberg代数的同构关系是否为完全解析集？
• RQ5 在$\mathcal{O}_2$自同构的上循环共轭关系非光滑的背景下，是否意味着其无法通过可数结构进行分类？

主要发现

• Cuntz代数$\mathcal{O}_2$自同构的共轭关系是完全解析集，因此不是Borel集。
• Cuntz代数$\mathcal{O}_2$自同构的上循环共轭关系也是完全解析集，因此不是Borel集。
• 即使限制在固定有限阶自同构的情况下，共轭关系与上循环共轭关系依然不是Borel集。
• 满足$K_1$-群平凡且满足UCC定理的Kirchberg代数的同构关系是完全解析集。
• $\mathcal{O}_2$自同构按共轭或上循环共轭分类的问题，其复杂度严格高于任何具有Borel同构关系的可数结构类的分类问题。
• 结果表明，$\mathcal{O}_2$上的上循环共轭关系不是光滑的，实际上也无法通过可数结构进行分类。